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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 

Programa de Pós-graduação em Filosofia  

Curso: Tópicos especiais em lógica e filosofia da ciência  

Professor: Antônio Mariano 

 

              



                                                                                                             Paulo Andrade Vitória  

TEORIA  DOS  CONJUNTOS  COMO  FUNDAMENTO  DA  MATEMÁTICA  E  A 

JUSTIFICAÇÃO DOS AXIOMAS DE ZFC

1

 

 

I – Introdução 

Pretendo  neste  trabalho  abordar:  (i)  a  ideia  de  teoria  dos  conjuntos  como  fundamento  da 

matemática e (ii) a questão da justificação dos axiomas padrões de ZFC. No que diz respeito a 

(i)  examino  os  benefícios  destacados  por  filósofos  da  matemática  em  tal  fundamentação;  de 

forma particular destaco a posição de Penelope Maddy; no que toca a (ii) investigo os termos 

de justificação dos axiomas padrões de ZFC. Para tanto, discutirei um ou dois axiomas.

2

 

hah 



II – Propostas de fundamentação: o logicismo de Frege e Russell 

 

Propostas  reducionistas  podem  ser  rastreadas  na  tese  logicista  de  Frege  e  Russell.  A  tese 

logicista declara que a  matemática  pode ser reduzida a lógica mediante  definições.  Bertrand 

Russell  explicitou-a  da  seguinte  forma:  “quando  analisamos  a  matemática,  a  levamos  toda 

para a lógica” (Russell, 1974, p.60). Frege ao contrário de Russell não pensou que a tese se 

aplicasse  a  todos  os  ramos  da  matemática.  Frege  tinha  em  mente  a  aritmética  elementar,  já 

que  considerava  a  geometria  como  uma  teoria  do  espaço.  Neste  sentido,  “compartilhava  da 

                                                           

1

 Existem teoria axiomática dos conjuntos alternativas a ZFC como NF, ML,



 CST, CZF e IZF, contudo em nosso 

trabalho  abordaremos  apenas  o  sistema  axiomático  ZFC,  já  que  tomamos  como  base  o  livro  Naturalism  in 



Mathematics  (1997)  de  Penelope  Maddy.

  ZFC  é  um  sistema  axiomático  com  linguagem  de  primeira  ordem. 

Sobre  linguagem  de  primeira  ordem  conferir  Shoenfield  (1967).  em  teoria  dos  conjuntos  em  que  as  letras  ZF 

fazem referência a Zermelo-Fraenkel e C faz referência ao axioma da escolha, “choice” em inglês. 

2

 Gostaria de ressaltar a falta de habilidade do autor em questões técnicas de matemática, por isso o trabalho se 



concentrará  nos  aspectos  mais  filosóficos.  Claro  que  faremos  uso  de  aspectos  técnicos,  mas  quando  for 

extremamente útil.  



tese kantiana de que a geometria repousa sobre a intuição espacial” (Frege, 1983, p. 224-241). 

Já Russell acreditava de forma radical que a matemática e a lógica eram uma só.  

 

O programa logicista  de  Frege e Russell pode ser melhor compreendido  por meio de 



suas etapas. Na primeira, a matemática é reduzida a uma base relativamente simples, como os 

postulados de Peano: 

 

1.  0 é um número. 



2.  O sucessor de qualquer número é um número. 

3.  Dois números diferentes nunca tem o mesmo sucessor. 

4.  0 não é sucessor de nenhum número. 

5.  Qualquer propriedade que pertença a 0 e também ao sucessor de qualquer número 

que tenha essa propriedade pertence a todos os números (Russell, 1966, p.20). 

 

Na segunda etapa, demonstra-se que a base dos postulados é traduzível em termos da lógica 

pura.  Na  etapa  seguinte,  os  axiomas  são  mostrados  como  verdades  da  lógica.  A  etapa  final, 

por  influência  da  afirmação  de  Wittgenstein,  é  a  de  que  “as  proposições  da  lógica  são 

tautologias” (TLP, 6.1).  

 

O  programa  logicista  não  foi  bem-sucedido  em  seu  empreendimento  de  reduzir  a 



matemática  a lógica pura. O próprio Russell identificou problemas no programa logicista de 

Frege,  de  forma  particular  no  axioma  da  compreensão.  O  problema  identificado  foi  o  da 

autorreferência.  Russell  observou  que  alguns  conjuntos  podem  conter  a  si  mesmos;  por 

exemplo,  o  conjunto  de  grandes  conjuntos  é  um  grande  conjunto,  portanto,  contém  a  si 

mesmo. Observemos outro caso, considere o conjunto de todos os conjuntos que não contém a 

si  mesmo.  Vamos  chama-lo  de  S.  “S  é  um  membro  de  S?  Se  é,  então  S  não  contem  a  si 

mesmo. Por outro lado, se S não contém a si mesmo, então ele contém a si mesmo. Em ambos 


os casos temos uma contradição. Assim, não pode haver um conjunto como S” (FRAENKEL 

e  BAR-HILLEL,1958,  p.  5).  Para  Russell  e  Whitehead  paradoxos  decorrem  da  ideia  “de 

objetos  como  coleção  que  contem  membros  que  podem  somente  ser  definidos  por  meio  da 

noção de coleção como um todo” (Russell and Whitehead, 1910, p. 39). 

 

Vejamos a formalização do paradoxo. Estabelece Frege: 



∈ y para ƎF (y ={z:Fz} ∧ Fz) 

 

Disto se deduz o princípio irrestrito: 



F Ǝy ꓯx (x ∈ y ↔ Fx) 

 

Como um caso especial, tomando Fx como x 



∉ x, temos: 

Ǝy ꓯx (x ∈ y ↔ x ∉ x) 

 

Daqui segue a contradição: 



Ǝy ꓯx (y ∈ y ↔ y ∉ y) 

Podemos tentar salvar o sistema de Frege argumentando que conjuntos em sua maior 

parte não contêm a si mesmos; por exemplo, o conjunto vazio não contém a si mesmo. Tais 

exemplos  não  resolvem  o  problema,  pois  não  temos  como  separar  no  sistema  de  Frege, 

conjuntos  que  contem  a  si  mesmos,  dos  que  não  contem.  Russell  procurou  de  diversas 

maneiras lidar com os problemas criados por seu paradoxo.  

 

O trabalho de Russell para resolver paradoxos como o seu aparece na obra Principia 



mathematica  (1910).  Aparentemente  o  problema  dos  paradoxos  foi  resolvido  por  Russell  e 

Whitehead com a introdução da teoria dos tipos. Russell e Whitehead escrevem: “a teoria dos 



tipos...  é  recomendada  por  sua  habilidade  em  resolver  certas  contradições...”  (Russell  and 

Whitehead,  1910,  p.  39).  A  teoria  dos  tipos  em  linhas  gerais  afirma  que  proposições  e 

conjuntos não podem conter a si mesmos (Russell and Whitehead, 1910, p. 40). Essa pareceu 

a  Russell  e  Whitehead  uma  solução  ao  problema  introduzido  pelos  paradoxos.  Apesar  do 



grande esforço realizado no Principia mathematica (1910) os problemas não foram resolvidos 

satisfatoriamente.  

O  empreendimento  de  Russell  e  Whitehead  para  resolver  os  paradoxos  criou  um 

sistema lógico muito complexo. O sistema já não era capaz de deduzir a matemática clássica 

sem  a  introdução  de  novos  axiomas,  inclusive  axiomas  não  lógicos.  Por  exemplo,  Russell 

precisou  adicionar  o  axioma  da  infinitude,  “de  que  há  um  número  infinito  de  itens 

disponíveis”.  A  questão  é  que  o  axioma  do  infinito  não  é  nem  analítico  e  nem  logicamente 

necessário,  ou  seja,  tautológico.  Somente  introduzindo  axiomas  não  lógicos  que  Russell  e 

Whitehead conseguiram realizar o projeto de redução da matemática clássica.  

 

A  introdução  de  axiomas  não  lógicos  no  sistema  de  Russell  e  Whitehead  foram 



primordiais  para  o  entendimento  de  que  o  projeto  de  reduzir  a  matemática  a  algo  mais 

fundamental precisava incluir, além da lógica, a ideia de conjuntos. Nas palavras de Quine: “a 

matemática  parecia  reduzir-se  inteiramente  a  lógica...  numa  perspectiva  mais  recente,  vê-se 

que é melhor descrever essa redução como redução a lógica e a teoria dos conjuntos” (Quine, 

1980, p. 157). 

 

A  tese  é  de  a  teoria  dos  conjuntos  pode  fundamentar  a  matemática  produzindo  bons 



resultados.  

 

III – Desenvolvimento da teoria dos conjuntos e o paradoxo de Cantor  



 

Podemos  dizer  que  a  teoria  dos  conjuntos  surge  dos  trabalhos  realizados  por  Georg  Cantor 

durante a segunda metade do século XIX.  Cantor tentou provar que o conjunto dos números 

reais não é enumerável (o conceito de enumerabilidade nos diz se é possível, ou não, contar os 

elementos do conjunto em questão). Para provar isto, apresentou a ideia de que um conjunto 

de números é enumerável quando existe uma bijeção entre tal conjunto e um subconjunto dos 



números  naturais.  Partindo  deste  princípio,  é  possível  provar  que  o  conjunto  dos  números 

racionais, que é um conjunto com infinitos elementos, é enumerável, pois podemos encontrar 

uma bijeção entre os racionais e os naturais (Fraenkel e Bar-Hillel, 1958, p.15).

3

 



 

Para realizar o seu trabalho Cantor forneceu uma definição de conjunto intuitivamente 

ingênua.  Vejamos  como  Fraenkel  e  Bar-Hillel  apresenta  tal  definição:  “conjunto  é  uma 

coleção


 

de objetos definidos que são distintos da nossa intuição ou do nosso pensamento. Os 

objetos são chamados de elementos do conjunto” (Fraenkel e Bar-Hillel, 1958, p.15). Com tal 

definição Cantor procurou estabelecer que o conjunto de subconjuntos  de qualquer conjunto 

tem mais elementos do que o próprio conjunto. Desse modo, ao considerarmos um conjunto 

infinito, como o dos números naturais, identificaremos que o conjunto de subconjuntos desse 

conjunto tem mais elementos. Assim obtemos níveis de infinito cada vez mais elevados.  

O problema deste resultado é de que não existe um conjunto universal, pois, de forma 

paradoxal,  não  pode  existir  um  conjunto  de  todas  as  coisas.  Tal  conjunto  teria  mais 

subconjuntos  do  que  si  mesmo.  Este  é  o  chamado  paradoxo  de  Cantor  ou  paradoxo  da 



cardinalidade

Deixe C ser o conjunto universal e P(C) ser seu conjunto potência. 

Desde que P(C) é um conjunto (o conjunto de todos os subconjuntos de C) deve estar 

contido dentro de C (porque C contém todos os conjuntos), assim 

|P(C)| ≤ |C| 

Contudo, pelo teorema de Cantor isso gera uma contradição já que,  

            |C| < |P(C)| 

Tal resultado tem consequências desastrosas para o projeto de fundamentar a matemática em 

teoria  dos  conjuntos.  Os  paradoxos  de  Russell  e  de  Cantor  demonstram  que  a  definição 

ingênua de conjunto, e as conclusões deriváveis dela não formam um alicerce satisfatório para 

                                                           

3

  Tomarei  como  base  para  exposição  histórica  o  livro  de  Abraham  H.  F;  Yehoshua,  Bar-Hillel;  Azriel  Levy 



(1973).  Foundations  of  Set  Theory.  Studies  in  Logic  and  the  Foundations  of  Mathematics.  1967  (2nd  ed.). 

Elsevier. 



fundamentar  a  teoria  dos  conjuntos,  muito  menos  para  fundamentar  a  matemática  como  um 

todo. Diz Fraenkel e Bar-Hillel: “a descoberta de paradoxos  exigiu um reexame do conceito 

de  conjunto,  ou,  pelo  menos  no  modo  como  este  conceito  foi  estabelecido.  Este  reexame 

provocou  divergência  sobre  a  resolução  ao  problema  na  teoria  de  Cantor.  Naturalmente, 

soluções diferentes foram apresentadas” (Fraenkel e Bar-Hillel, 1958, p.15). 

 

Trocas  substanciais  foram  realizadas  em  teoria dos  conjuntos, no que diz respeito ao 



conteúdo e metodologia: (i) conteúdo, declarações sobre conjuntos que podem ser verdadeiras 

em  um  sistema,  podem  ser  falsas  em  outro  sistema.  Em  muitos  casos  tais  sistemas  usam 

linguagens  diferentes  e  não  é  possível  traduzir  a  linguagem  de  um  sistema  para  a  de  outro 

sistema.  Fraenkel  e  Bar-Hillel  pensam  que  as  coisas  mudam  de  figura,  quando  se  trata  dos 

aspectos  metodológicos.  Existe  um  consenso  de  que  as  bases  metodológicas  de  todos  os 

ramos  da  matemática  devem  ser  alicerçadas  sobre  o  método  axiomático  (Fraenkel  e  Bar-

Hillel, 1958, p.16). 

 

O  método  axiomático  que  emergiu  com  os  Elementos  (300  a.C.)  de  Euclides  foi 



retomado e desenvolvido no século XIX. A atitude axiomática em teoria dos conjuntos difere 

da  atitude  logicista.  Os  logicistas  defendem  que  a  lógica  usada  na  Matemática  possui  base 

sólida. Acreditam que os paradoxos não se seguem da lógica. A falha está na suposição básica 

feita por Cantor sobre conjuntos. Os defensores da atitude axiomática em teoria dos conjuntos 

advogam  que  grande  parte  do  problema  pode  ser  evitado  com  a  formulação  de  novos 

axiomas


4

. Para isso, basta que o axioma satisfaça uma única condição: evite a ocorrência de 

paradoxos  (Fraenkel  e  Bar-Hillel,  1958,  p.16).  Nestes  termos,  parece  que  o  método 

axiomático  permitiria  estabelecer  a  teoria  dos  conjuntos  como  um  bom  fundamento  para  a 

                                                           

4

 Vejamos como Shoenfield (1967) define a ideia de axioma e sistema axiomático: “as leis primeiras aceitas não 



podem ser provadas, desde que não existam leis anteriores das quais estas possam ser provadas. Portanto, temos 

leis primeiras, chamadas axiomas, que aceitamos sem provas; temos os teoremas, que são provados por meio dos 

axiomas.  Temos  também  conceitos  básicos,  que  não  podem  ser  definidos  e  conceitos  derivados  que  são 

definidos  em  termos  dos  conceitos  básicos.  Um  sistema  axiomático  é  um  edifício  consistindo  de  conceitos 

básicos, conceitos derivados, axiomas e teoremas (Shoenfield,1967, p. 2). 


matemática. Vamos considerar em nosso trabalho o sistema axiomático padrão em teoria dos 

conjuntos ZFC.  

 

Aspectos históricos de ZFC 

 

Em  1908,  Ernst  Zermelo  propôs  a  primeira  teoria  axiomática  dos  conjuntos.  Essa 

teoria axiomática não permitia a construção de números ordinais grandes, já que grande parte 

da  matemática  ordinária  podia  ser  desenvolvida  sem  usar  números  ordinais  grandes.  O 

problema  é  que  tais  números  são  ferramentas  essenciais  nas  investigações  teóricas 

relacionadas  a  conjuntos.  Então,  Zermelo  invocou  o  conceito  de  propriedade  definida,  cujo 

sentido  operacional  não  era  muito  claro.  Em  1922,  Abraham  Fraenkel  e  Thoralf  Skolem 

propuseram  a  operacionalização  da  ideia  de  propriedade  definida  como  uma  teoria  de 

primeira  ordem  cujas  fórmulas  atômicas  fossem  limitadas  a  pertinência  e  a  identidade  de 

conjuntos. Propuseram também a troca do axioma da separação pelo axioma da substituição

Posteriormente foi  anexado a esse esquema  o  axioma da regularidade, proposto  por Dmitry 

Mirimanoff.  Desta  forma,  a  teoria  dos  conjuntos  de  Zermelo  produziu  uma  teoria  chamada 

ZF. No início do século XX, Zermelo e Hilbert formalizaram o axioma da escolha (AC) que 

foi adicionado a ZF, formando o sistema ZFC.

5

   


 

IV – A teoria axiomática dos conjuntos como fundamento da matemática     

A  ideia  de  teoria  dos  conjuntos  como  fundamento  da  matemática  remonta  as  primeiras 

formulações da teoria e  “agora surge como um  pilar da ortodoxia contemporânea em  teoria 

dos conjuntos” (Maddy, 1997, p. 22).

6

 

                                                           



5

  Usaremos  como  base  para  o  nosso  trabalho  a  obra  de  Penelope  Maddy  Naturalism  in  Mathematics  (1997), 

contudo, na medida do possível, recorremos a fontes primarias de autores citados nesta obra. 

6

  Para  a  apresentação  dos  aspectos  técnicos  usarei  como  referência  o  livro  de  Penelope  Maddy  Naturalism  in 



Mathematics (1997). 

 

Vejamos algumas passagens que ilustram bem o ponto: 

Todos  os  ramos  da  matemática  são  desenvolvidos,  consciente  ou 

inconscientemente,  em  teoria  dos  conjuntos  ou  parte  desta  (Levy,  1979,  p. 

3). 

 

Teoria  dos  conjuntos  é  o  fundamento  da  matemática.  Todos  conceitos 



matemáticos  são  definidos  em  termos  de  noções  primitivas  de  conjuntos  e 

seus  membros...  Dos  axiomas  todos  os  aspectos  conhecidos  da  matemática 

podem ser derivados (Kunen, 1980, xi).   

 

Objetos matemáticos (tais como números e funções diferenciais) podem ser 



definidas  por  certos  conjuntos.  E  os  teoremas  da  matemática  (tais  como  o 

teorema fundamental de cálculo), podem ser vistos como como declarações 

sobre  conjuntos.  Além  do  mais,  estes  teoremas  serão  derivados  de  nossos 

axiomas.  Portanto,  nossos  axiomas  fornecem  uma  coleção  suficiente  de 

suposições para o desenvolvimento da matemática como um todo (Enderton, 

1977, p. 10-11). 

 

Mesmo  apresentando  problemas,  a  teoria  dos  conjuntos  permaneceu  com  o  seu  papel 



fundacional intacto. 

 

O  projeto  fundacional  já  estava  sendo  traçado  nos  trabalhos  de  Zermelo  e  Von 



Neumann. Observemos, por exemplo, a construção dos ordinais finitos. Foi estabelecido que 

os  ordinais  finitos  começam  com  o  conjunto  vazio,  Ø  e  continua  a  cada  estágio  tomando  o 

conjunto de ordinais  precedentes, desta forma, o vazio Ø  é  seguido  pelo o unitário do vazio 

{Ø},  que  é  seguido  pelo  conjunto  vazio  e  unitário  do  vazio  {Ø,  {Ø}}.  Von  Neumann 

identificou 0 com Ø, 1 com {Ø} e 2 com {Ø, {Ø}} e assim por diante. Zermelo por outro lado 

identificou  0  com  Ø,  1  com  {Ø}  e  2  com  {{Ø}}  e  as  coisas  funcionaram  bem  da  mesma 

forma (Maddy, 1997, p. 24).  

O que podemos extrair de consequência filosófica da construção da série dos ordinais 

finitos  por  meio  da  noção  de  conjunto?  A  ideia  é  de  que  objetos  matemáticos  podem  ser 

substituídos  por  conjuntos.  Neste  caso,  os  ordinais  finitos  podem  ser  substituídos  por 

conjuntos. Este é um típico exemplo de como a matemática pode ser fundamentada em teoria 

dos  conjuntos.  Acompanhemos  as  implicações  filosóficas  explicitadas  por  Maddy  sobre  a 

questão e a sua tese sobre o papel fundacional da teoria dos conjuntos. 

 


Objetos e estruturas matemáticas: Frege, Quine e Maddy  

 

A  investigação  fregeana  sobre  número  é  feita  da  seguinte  forma:  “o  que  é  um  número?” 

(Frege, 1983, p. 197). Frege com tal questão não está interessado em encontrar conjuntos que 

possam substituir os números. Frege está interessado em descobrir que objetos lógicos são os 

números. Observemos a definição do número 0 apresentada por Frege:  

A um conceito convém o número 0 se nenhum objeto cai sob ele. Mas aqui o 

“nenhum”  parece  ter  entrado  no  lugar  do  0,  tendo  ambos,  o  mesmo 

significado;  por  isso  é  preferível  a  seguinte  formulação:  a  um  conceito 

convém o número 0 se vale universalmente, para qualquer a, a proposição de 

que a não cai sob este conceito (Frege, 1983, p. 244).  

 

A  investigação  fregeana  tem  como  objetivo  descobrir  a  identidade  dos  vários  objetos 



matemáticos.  Para  Maddy  este  não  deve  ser  “o  objetivo  do  trabalho  teórico  em  teoria  dos 

conjuntos” (Maddy, 1997, p. 25).  

 

Vejamos a posição defendida por Quine.  



Quine acredita que o principal benefício em fundamentar a matemática em teoria dos 

conjuntos, se encontra na ideia de redução ontológica.  Temos a possibilidade de substituir de 

forma  legitima  o  mundo  dos  números  naturais,  inteiros,  racionais  e  reais  por  conjuntos.  De 

acordo com Maddy existem duas motivações subjacentes ao conceito de  redução ontológica 

defendido por Quine: a (i) as ciências naturais desenvolvem sua pesquisa com sucesso e são 

prudentes ao incluir novas entidades teóricas; a (ii) é de que objetos abstratos tendem a gerar 

problemas  filosóficos  indesejados.  Por  isso,  Quine  defende  uma  ontologia  austera,  e  parece 

que a fundamentação da matemática em teoria dos conjuntos é capaz de oferecer tal resultado 

(Maddy, 1997, p. 25). 

 

Maddy  reconhece  os  méritos  da  redução  ontológica,  “mas  pensa  que  esta  não  é  a 



questão discutida em matemática, quando se trata de teoria dos conjuntos” (Maddy, 1997, p. 

25). Diz ela: “o trabalho fundacional da teoria dos conjuntos é o de encontrar características 



relevantes  dos  objetos  matemáticos,  para  que  se  possa  encontrar  um  conjunto  capaz  de 

substituir tais características” (Maddy, 1997, p. 26). 

 

Claro que pode ser apresentada a seguinte questão a Maddy: se a tese de fundamentar 



a  matemática  em  teoria  dos  conjuntos  não  tem  interesse  ou  implicações  metafísicas  ou 

ontológicas,  por  qual  motivo  devemos  nos  preocupar  com  tal  problema?  A  resposta  a  esta 

questão se alicerça no terreno matemático e não no terreno filosófico. Maddy  afirma que  “a 

força de fundar a matemática na teoria dos conjuntos é a possibilidade de oferecer substitutos 

para todos os objetos e estruturas matemáticas na arena dos conjuntos. Esta redução permite 

estabelecer  relações  e  interações  que  podem  ser  investigadas  de  forma  robusta”  (Maddy, 

1997,  p.  26).  Por  exemplo,  para  saber  se  existe  certo  tipo  de  objeto  matemático,  basta  que 

perguntemos  se  existe  um  conjunto  capaz  de  substituir  tal  objeto;  ou  se  queremos  saber  se 

uma declaração é provável ou não, investigamos se pode ser derivada dos axiomas da teoria 

dos conjuntos ou não. 

 

Para Maddy os  benefícios  matemáticos alcançados  pela ideia  de  teoria dos  conjuntos 



como  fundamento  da  matemática  podem  ser  apresentados  sem  compromissos  ontológicos  e 

metafísicos.  Agora  precisamos  examinar  certas  objeções  feitas  ao  sistema  axiomático  de 

Zermelo.  Para  Maddy  muitos  entenderam  a  axiomatização  de  Zermelo  como  um  projeto 

epistemológico,  “o  de  instalar  a  matemática  em  bases  seguras”.  O  empreendimento  de 

Zermelo  se  alicerça  mais  em  motivações  matemáticas  do  que  preocupações  filosóficas, 

epistemológicas.  Zermelo  com  a  axiomatização  da  teoria  dos  conjuntos  pretendia  evitar  os 

indesejados paradoxos. 

 

Vejamos as motivações de Zermelo em seus próprios termos: “teoria dos conjuntos é o 



ramo  da  matemática,  cuja  principal  tarefa  é  investigar  matematicamente  as  noções 

fundamentais de “número”, “ordem” e “função”, os tomando em sua forma primitiva, ou seja, 

simples  formas,  e  desenvolver,  assim,  as  bases  lógicas  de  toda  aritmética  e  analise;  o  que 


constitui  um  componente  indispensável  da  matemática  enquanto  ciência”  (Zermelo,  1908,  p 

200). Zermelo identificou e tentou resolver problemas em seu sistema axiomático tendo como 

pano de fundo primeiramente motivações matemáticas. 

 

Tese da fundamentação: problemas 



 

Um  dos  problemas  enfrentados  pela  tese  da  fundamentação  da  matemática  em  teoria  dos 

conjuntos é identificado pelo próprio Zermelo: 

Não fui capaz de provar rigorosamente que meus axiomas são consistentes, 

embora seja certamente essencial; em vez disso, limitar-me-ei a assinalar que 

as  antinomias  descobertas  até  agora  desaparecerão,  se  os  princípios  aqui 

propostos forem adotados como bases (Zermelo, 1908, p. 201) 

 

O  que  Zermelo  não  percebeu  é  que  um  sistema  axiomático  não  pode  provar  sua  própria 



consistência.  Quem  demonstrou  isso  foi  Gödel  em  1931.  Ele  mostrou  que  qualquer  teoria 

robusta apta a reproduzir a aritmética elementar (ZFC é capaz produzir tais resultados) não é 

capaz de provar sua própria consistência.  

 

Teoremas de Gödel: 



 

Primeiro teorema da incompletude 

 

Algum sistema formal consistente F dentro do qual certa aritmética elementar pode ser 

incluída é incompleto; isto é, existem declarações da linguagem de F que não pode ser 

provada e nem refutada. 

 

 

Segundo teorema da incompletude  

 

Para  algum  sistema  consistente  F  dentro  do  qual  certa  aritmética  elementar  pode  ser 

incluída, a consistência de F não pode ser provada em F

 

 



Maddy  afirma  que  muitas  objeções  aos  axiomas  de  Zermelo  se  apoiaram  nos  teoremas  de 

Gödel  (1931).  Talvez  a  principal  objeção  nessas  bases  tenha  sido  apresentada  por  MacLane 

(1986).  MacLane  assevera  que  a  axiomatização  da  teoria  dos  conjuntos  elimina  as 

contradições,  por  outro  lado  considera  que  não  temos  em  mãos  nenhuma  prova  que  os 



axiomas  de  ZFC,  para  teoria  dos  conjuntos,  não  produzirão  contradições,  pois  o  segundo 

teorema de Gödel nos diz que nenhuma prova consistente pode ser oferecida dentro de ZFC 

(MacLane, 1986, 406). Desta forma, a esperança de Zermelo de estabelecer a consistência de 

seus  axiomas  é  sabotada,  o  que  inviabiliza  qualquer  tentativa  de  fundamentar  a  matemática 

em teoria dos conjuntos. Maddy pensa que as coisas não se resolvem dessa forma. 

 

Maddy  acredita  que  os  benefícios  matemáticos  fornecidos  pela  teoria  dos  conjuntos 



como  fundamento  não  dependem  da  sua  provável  consistência  como  teoria.  Maddy  defende 

que  o  principal  critério  para  se  avaliar  uma  teoria  em  matemática  seja  o  de  ser  livre  de 

contradições (Maddy, 1997, p. 30). Esse critério deve servir, inclusive, como parâmetro para 

avaliar axiomas que se apresentem como candidatos a novos axiomas. Qualquer axioma que 

seja suspeito de introduzir contradições  na teoria  deve ser rejeitado.  Os ganhos matemáticos 

obtidos  com  a  fundação  da  matemática  em  teoria  dos  conjuntos  nos  permitem  continuar  o 

trabalho sem a necessidade de provar a consistência de ZFC.   

 

Uma outra objeção apresentada por MacLane é a de que a tese da teoria dos conjuntos 



como  fundamento  gera  uniformidade.  Argumenta  que  existem  outros  modos  de  pensar, 

alternativos a teoria dos conjuntos, que são mais apropriados a matemática. Maddy reconhece 

que os procedimentos metodológicos podem mudar, de acordo com os ramos da matemática 

considerados.  Podemos  pensar  aqui  em  áreas  como  álgebra,  análise,  teoria  dos  números  e 

geometria,  etc.  Contudo,  a  tese  da  teoria  dos  conjuntos  como  fundamento  não  pode  ser 

entendida deste modo. Diz Maddy: “dizer que os objetos de estudo da matemática possuem 

substitutos em teoria dos conjuntos, não é dizer que eles devem ser estudados somente usando 

o método da teoria dos conjuntos” (Maddy, 1997, p. 34).      

 

O  mesmo  ponto  é  apresentado  por  Mathias.  Para  ele  o  propósito  do  trabalho 



fundacional em matemática deve ser o de promover a unidade e não a uniformidade. Mas do 

que uniformidade, a esperança do projeto fundacional é de estabelecer uma ontologia dentro 



do qual todo o trabalho possa ser feito (Mathias, 1992, p. 114). Nestes termos, podemos notar 

que os benefícios de fundamentar a matemática em teoria dos conjuntos não se alicerçam em 

resultados  ontológicos  ou  epistemológicos.  Para  Maddy  os  benefícios  da  tese  da 

fundamentação decorrem dos resultados matemáticos obtidos. 

 

Agora  podemos  declarar  a  tese  de  Maddy  sobre  a  fundamentação  da  matemática  em 



teoria dos conjuntos. Chamaremos tal tese de tese da fundamentação modesta: 

 

(TMF)  para  todos  objetos  matemáticos  e  estruturas,  existe  um  substituto  e 



instanciações  em  teoria  dos  conjuntos,  e  todos  os  teoremas  da  matemática  clássica 

provados em teoria dos conjuntos podem ser derivados dos axiomas padrões de (ZFC) 

(Maddy, 1997, p.34).    

Precisamos investigar de que modo Maddy procura justificar os axiomas padrões de ZFC.  

 

V – Os axiomas padrões de ZFC  

 

O  objetivo  de  Zermelo  era  o  de  estabelecer  princípios,  axiomas,  que  fossem  restritos  o 

bastante  “a  fim  de  excluir  todas  as  contradições”,  mas  “forte  o  bastante  a  ponto  de  manter 

todos os aspectos valiosos da teoria” (Zermelo, 1908, p. 201). Maddy concorda com o critério 

de  Zermelo  de  que  os  axiomas  devem  ser  avaliados  pela  possibilidade  de  introduzir 

contradição ou não no sistema.  

Os axiomas, por este critério, são avaliados em termos de suas consequências, ou seja, 

em termos dos resultados que produzem.

7

 

 



Por questões didáticas e informativas vamos apresentar os axiomas padrões de ZFC. 

(i)  Axioma  da  extensionalidade:  dois  conjuntos  são  iguais,  se  e  somente  se,  possuem 

exatamente o mesmo membro.  

                                                           

7

 Os axiomas serão construídos com a simbologia acessível ao nosso trabalho.   



ꓯx ꓯy (ꓯz (z є x ↔ z є y) → x = y)) 

(ii)  conjunto vazio: declara a existência de um conjunto com nenhum membro. 

Ǝx ꓯy (y ∉ x) 

 

 



(iii) axiomas  do  par:    Se  x  e  y  são  conjuntos  (não  necessariamente  distintos)  então 

existe um conjunto no qual x e y são elementos. 

 

ꓯxꓯy Ǝz (x ∈ z ∧ y ∈ z)  



(iv) axioma da união: Para todo conjunto  Γ existe um conjunto A tal que todo elemento 

que pertence a um elemento de Γ  é um elemento de A. 

ꓯΓ ƎA ꓯY ꓯx  (x ∈ y ∧ y ∈ Γ → x ∈ A) 

(v)  axioma  da  separação:  também  chamado  de  axioma  da  compreensão,  ou  ainda 



axioma  de  especificação,  diz  que  se  z  é  um  conjunto  e  Φ  é  qualquer  propriedade  que 

possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém 

os elementos x de z e que possuem essa propriedade. A restrição a z é necessária para 

evitar o paradoxo de Russell e suas variantes. 

ꓯz ꓯω

1...


ω

n

 Ǝy ꓯx  (x 



∈ y ↔ (x ∈ z ∧ Φ) 

(vi) axioma do infinito:  existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento

e que, para todo elemento y, ele contém seu sucessor S(y). 

Ǝx (Ø ∈ x ∧ ꓯy ∈ x (S(y) ∈ x) 

(vii)  axioma do conjunto potência: para todo conjunto x existe um conjunto y que tem 

como elementos todo subconjunto de x. 

•  primeiro definamos z ⊆ x como: ꓯq (q ∈ z → q ∈ x) 

ꓯx Ǝy ꓯz (z ⊆ x → z ∈ y) 



(viii) axioma da escolha: para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna 

X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo 

subconjunto não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R. 

ꓯA ƎR (R bem ordena A) 

(ix) axioma de substituição: o objetivo é garantir que se algum esquema f, quando 

aplicado ao conjunto x, tem a cara de uma função, então existe um conjunto f(x). 

ꓯx ∈ A Ǝ!y φ (x,y) → ƎB ( ꓯx ∈ A Ǝy ∈ B | φ (x, y) 

(x)  axioma da fundação ou da regularidade: afirma que todo conjunto não-vazio x 

contém algum elemento y tal que x e y são disjuntos. 

ꓯx (x ≠ Ø → Ǝy ∈ x (y ∩ x = Ø) 

A  apresentação  dos  axiomas  em  sua  formulação  simbólica  possui  caráter  informativo.  O 

interesse  de  nossa  investigação  é  filosófico,  neste  caso,  saber  em  que  termos  tais  axiomas 

podem ser justificados.  

 

A questão das justificações dos axiomas de ZFC 



 

Como  vimos,  para  Maddy  os  axiomas  devem  ser  avaliados  em  termos  de  seus  resultados 

matemáticos.  Ela  chama  esse  tipo  de  justificação  de  extrínseca.  Por  outro  lado,  temos  a 

justificação  intrínseca,  que  apela  para  conceitos  como  analiticidade  e  intuição.  Quais  as 

vantagens em avaliar os axiomas de forma extrínseca? Podem os axiomas serem justificados 

intrinsecamente?  Essas  questões  não  interessam  somente  ao  filósofo  da  matemática,  são  de 

interesse do epistemólogo.  

 

Para  Maddy  temos  boas  razões  para  avaliar  os  axiomas  em  termos  de  suas 



consequências. A posição defendida por Maddy não é unânime. Tiles, por exemplo, defende a 

necessidade de se apresentar justificações independentes e intrínsecas para os axiomas. A tese 



de  Tiles  é  de  que  a  justificação  em  termos  de  suas  consequências  gera  problemas  de 

circularidade  (Tiles,  1989, 208). Maddy  acredita  que a objeção de circularidade  apresentada 

por Tiles aplica-se a fundamentação no sentido epistêmico, de “fornecer um ponto de partida 

seguro” (Maddy, 1997, 32). Este não é o interesse do matemático. Mesmo que os benefícios 

epistêmicos sejam perdidos, os benefícios matemáticos permanecem.  Isto é certamente o que 

importa para o desenvolvimento do trabalho do matemático. 

 

É  preciso  reconhecer  que  existem  pontos  complexos  a  serem  explorados  no  debate 



sobre a justificação dos axiomas. Contudo, tendemos a concordar com Maddy sobre os termos 

de  avaliação  dos  axiomas.  Os  interesses  ontológicos  e  epistemológicos  envolvidos  em  tal 

discussão situam-se na enseada da filosofia. Os matemáticos de forma geral estão interessados 

nos  resultados  que  tais  axiomas  podem  produzir.  Se  podemos  fazer  uso  do  termo  neste 

contexto, poderíamos dizer que os matemáticos estão preocupados com o aspecto pragmático 

do  seu  empreendimento.  A  questão  feita  pelo  matemático  é:  que  resultados  o  axioma  pode 

produzir  para  o  entendimento  de  objetos  e  estruturas  matemáticas?  Aqui  reside  o  cerne  da 

questão para o matemático.  

 

Discutindo a justificação de alguns axiomas  

 

Vejamos,  por  exemplo,  a  justificação  extrínseca  do  axioma  do  infinito.  Este  axioma  afirma 



que existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento, e que, para todo elemento 

y pertencente a x, ele contém seu sucessor S(y). 

Ǝx (Ø ∈ x ∧ ꓯy ∈ x (S(y) ∈ x) 

Paradoxos, como os de Zenão na antiguidade, colocaram a noção de infinito sobre suspeita. A 

solução  apresentada  por  Aristóteles  foi  a  de  que  os  matemáticos  deveriam  trabalhar  com  o 

infinito  em  potencial,  (a  ideia  de  que  para  todo  número  sempre  existe  um  próximo),  desta 


forma,  deveriam  renunciar  a  ideia  de  infinito  completo,  (a  coleção  de  todos  os  números;  a 

linha  como  uma  coleção  de  pontos).  As  coisas  permaneceram  assim  até  o  surgimento  do 

cálculo, que permitiu entre outras coisas a introdução do infinito completo: cada número real 

é identificado com uma infinita coleção de racionais (Maddy, 1997, p. 52).  

 

O ponto é que a definição de números reais de Cantor e Dedekind força-nos a admitir 



coleções  infinitas  como  objetos  singulares.  A  ideia  é  de  que  definindo  os  números  reais,  o 

podemos tratar como objetos simples, deixando de lado a sua complexidade. A tese de Cantor 

com  o  axioma  do  infinito  foi  estabelecer  a  existência  de  conjuntos  infinitos,  ou  seja,  a 

existência de um infinito completo que pudesse ser tratado matematicamente.

8

  

 



Vejamos  a  justificação  extrínseca  apresentada  por  Fraenkel,  Bar-Hillel,  and  Levy 

para a introdução do axioma do infinito:  

Negociar  com  números  naturais  sem  o  conjunto  de  todos  os  números 

naturais  não  gera  grandes  inconveniente,  do  que,  digamos,  negociar  com 

conjuntos  sem  ter  o  conjunto  de  todos  os  conjuntos.  A  aritmética  dos 

números  racionais  pode  ser  desenvolvida  nesta  estrutura.  Contudo,  se 

alguém  está  interessado  em  análise  (cálculo),  então,  conjuntos infinitos  são 

indispensáveis. A noção de número real não pode ser desenvolvida somente 

por meio de conjuntos finitos. Desta forma, temos que adicionar um axioma 

que garanta a existência de um conjunto infinito (Bar-Hillel, and Levy, 1973, 

p. 45).     

 

Podemos observar que o axioma do infinito é adicionado ao sistema axiomático de Zermelo 



com  o  objetivo  de  permitir  certos  resultados.  Neste  caso,  o  resultado  ambicionado  pelos 

matemáticos é o de produzir a série dos números reais. Apenas com a existência de conjuntos 

finitos  não é possível  derivar a série dos números  reais.  A introdução do axioma do infinito 

permite a construção dos números reais. 

 

 A questão é saber se o axioma do infinito – ou qualquer outro axioma, pensemos no 



caso  do  axioma  da  escolha  –  já  era  usado  intuitivamente  antes  de  ser  demonstrado 

axiomaticamente.  Se  a  resposta  para  a  questão  for  positiva,  podemos  dizer  que  é  possível  a 

                                                           

8

 O axioma do infinito pode ser declarado também da seguinte: existe um conjunto que contém o conjunto vazio, 



e que contem, para cada dos seus elementos a, o conjunto a, o conjunto a 

∪ {a}. 



existência  de  axiomas  intuitivamente  evidentes.  Neste  caso,  o  axioma  opera 

“inconscientemente” gerando resultados matemáticos produtivos. Isto se aplica ao axioma da 



escolha. Este axioma afirma que para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna 

X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo subconjunto 

não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R. 

ꓯA ƎR (R bem ordena A) 

Claro que podem ser oferecidas justificações extrínsecas para o axioma da escolha. O próprio 

Zermelo  forneceu  tais  justificações.  Diz  ele:  “em  minha  opinião  não  se  pode  negociar  com 

muitas  coisas  sem  o  princípio  da  escolha”  (Zermelo,  1908,  p.  188).  Certos  resultados 

matemáticos dependem do axioma da escolha.  

 

Suspeito que no caso do axioma da escolha negociamos com um princípio que aceita 



tanto justificação intrínseca, como justificação extrínseca. Isso nos permite pensar que certos 

candidatos  a  axioma  podem  receber  justificação  em  termos  de  suas  consequências  e  em 

termos de serem intuitivos. O axioma da escolha parece nos permitir defender tal coisa. Será 

que  neste  ponto  reside  a  força  do  axioma  da  escolha?  Dado  as  pretensões  modestas  do 

trabalho não avançaremos tal posição sugerida na discussão sobre o axioma da escolha.  

 

VI – Conclusão  



 

Poderíamos ter avançado muitos pontos em nosso trabalho, contudo, é preciso reconhecer que 

o objetivo  do nosso  trabalho  é modesto.  Concluo o trabalho  com  a  certeza de que  é preciso 

avançar  na  pesquisa  sobre  os  termos  de  justificação  dos  axiomas,  assim  como,  reconheço  a 

razoabilidade  da  posição  de  Maddy:  de  que  a  teoria  dos  conjuntos  como  fundamento  da 

matemática  e  a  justificação  dos  axiomas  devem  ser  defendidos  em  termos  de  suas 

consequências, ou seja, dos resultados matemáticos que produzem.    


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