Proposta de redaçÃO



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N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

158

A

A

No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas

vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir

de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em

que se mede a circunferência da árvore à altura do peito

de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A

essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a

seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o

volume da tora em m

3

a partir da medida do rodo e da



altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de

cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas

espécies diferentes, sendo

• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de

comprimento e densidade 0,77 toneladas/m

3

;

• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de



comprimento e densidade 0,78 toneladas/m

3

.



Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que

enviassem caminhões para transportar uma carga de,

aproximadamente,

a) 29,9 toneladas.

b) 31,1 toneladas.

c) 32,4 toneladas.

d) 35,3 toneladas.

e) 41,8 toneladas.



Resolução

1) O volume de cada tora da espécie I, em metros

cúbicos, é igual a:

3

2

. 12 . 0,06 = 6,48

2) O volume de cada tora da espécie II, em metros

cúbicos, é igual a:

4

2

. 10 . 0,06 = 9,60

3) A massa, em toneladas, das cinco toras é igual a:

3 . 6,48 . 0,77 + 2 . 9,60 . 0,78 = 29,9448

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

159

E

E

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja

amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições

teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. 

O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o 

modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação

matemática, já que a massa é uma variável de dimensões

cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.

As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. Índice de Massa Corporal:



Um Questionamento Cientifício Baseado em Evidências. Arq.

Bras. Cardiologia, volume 79, n.

o

1, 2002 (adaptado).



Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC

igual a 25 kg/m

2

, então ela possui RIP igual a



a) 0,4 cm/kg

1/3


.

b) 2,5 cm/kg

1/3

.

c) 8 cm/kg



1/3

.

d) 20 cm/kg



1/3

.

e) 40 cm/kg



1/3

.

Resolução



Se h for a altura da menina, em metros, então:

1) 25 =

⇔ h



2

⇒ h = 



= 1,6 m = 160 cm

2) RIP =

= = 

40 

massa (kg)

IMC = –––––––––––

[altura (m)]

2

altura (cm)

RIP = –––––––––––––

3




 

 

 



 

massa (kg)

64

–––

h

2

64

–––

25

8

–––

5

160

–––––––

3




64

160

–––

4

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

160

C

C

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilô -

metros a Noroeste de São Paulo), na noite do último

domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista,

na região de Presidente Prudente, assustando agricultores

da região. O artefato faz parte do programa Projeto

Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina,

Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da

camada de ozônio, e sua descida se deu após o

cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. 

Acesso em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.

Uma estava a 1,8 km da posiçao vertical do balão e o

avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da

posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no

mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob

um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km

b) 1,9 km

c) 3,1 km

d) 3,7 km

e) 5,5 km



Resolução

Sendo h a altura em que se encontrava o balão, temos:

tg 60° = 



3 =

⇔ ≅ 3,11

h

–––

1,8

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

161

B

B

Um satélite de telecomunicações, minutos após ter

atingido sua órbita, está a quilômetros de distância do

centro da Terra. Quando assume seus valores máximo e

mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o peri -

geu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o

valor de em função de seja dado por



r(t) =

Um cientista monitora o movimento desse satélite para

controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso,

ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e

no perigeu, representada por S.

O cientista deveria concluir que, periodicamente, S

atinge o valor de

a) 12 765 km.

b) 12 000 km.

c) 11 730 km.

d) 10 965 km.

e) 5 865 km.



Resolução

1) r

máximo

= = =

=  

= 6 900

2) r

mínimo

=  



=  

= 5

100

3) S = r

máximo

+ r

mínimo

= 6 900 + 5 100 = 12 000

5 865

––––––––––––––––––

1 + 0,15 . cos (0,06t)

5 865

––––––––––––

1 + 0,15 . (–1)

5 865

––––––––––––

1 – 0,15

5 865

––––––

0,85

5 865

––––––––––

1 + 0,15 . 1

5 865

––––––

1 + 0,15

5 865

–––––

1,15

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

162

D

D

Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato

cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas

figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à

medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de

um posto de combustível deseja encomendar um tanque

com menor custo por metro cúbico de capacidade de

armazenamento.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do

posto? (Considere 

π ≅ 3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de



.

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de

.

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de



.

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de

.

e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de



.

Resolução

1) Sendo A

I

, A

II

e A

III

as áreas laterais desses

tanques, em metros quadrados, tem-se:

A

I

= 2 . π . 2 . 6 = 24π

A

II

= 2 . π . 2 . 8 = 32π

A

III

= 2 . π . 3 . 8 = 48π

2) Sendo V

I

, V

II

e V

III

as capacidades de armaze -

namento desses tanques, em metros cúbicos, tem-

se:

V

I

= π . 2

2

. 6 = 24π

V

II

= π . 2

2

. 8 = 32π

V

III

= π . 3

2

. 8 = 72π

Assim, a relação área/capacidade de armazenamento

de cada tanque é dada por:

= = 

1

= = 

1

1

–––



3

4

–––



3

3

–––



4

2

–––



3

7

–––



12

A

I

––––

V

I

24π

–––––

24π

A

II

––––

V

II

32π

–––––

32π

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

= = 

Como 

< 1, então se pode concluir que o tanque com

menor custo por metro cúbico de capacidade é o III .

A

III

––––

V

III

48π

–––––

72π

2

––

3

2

––

3

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

163

D

D

Nos processos industriais, como na indústria de cerâ mica,

é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas

temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação

dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a

qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para

elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a

função

T(t) = 


em que é o valor da temperatura atingida pelo forno,

em graus Celsius, e é o tempo, em minutos, decorrido

desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a

temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for

200°C.


O tempo de permanência dessa peça no forno é, em

minutos, igual a

a) 100.

b) 108.


c) 128.

d) 130.


e) 150.

Resolução

1) Para T

1

= 48°C, temos t = t

1

48 = 

t



+ 20

t

1

= 28 



2) Para T



2

= 200°C, temos t = t

2

200 = 

t

2

2



t



+ 320



t

2

+ 120 = 0

2 t

2

2

– 25 . 16 t

2

+ 125 . 120 = 0

t

2



– 200t

2

+ 7500 = 0

A soma das raízes vale 200 e o produto vale 7500

Portanto: t

2

’ = 150 min

t

2

’’ = 50 min

Como T > 100°C devemos ter t

2

> 100 min e portanto

t

2

= 150 min

O tempo de permanência Δt é dado por:

Δt = t

2

– t

1

= 150 min – 20 min = 130 min



7       



––– t + 20, para 0 ≤ t < 100

5        

2         16

––– t


2

– ––– t + 320, para t ≥ 100

125        5

7

––

5

7

––

5

t

1

= 20 min

2

–––

125

16

–––

5

2t

2

2

–––––

125

16

–––

5

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

164

B

B

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar,

em grande quantidade, uma peça com o formato de um

prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base

são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça

deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma

de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces

laterais, conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual a

a) 1 cm.


b) 2 cm.

c) 3 cm.


d) 4 cm.

e) 5 cm.


ResoluçãoResolução

Se r for o raio da perfuração da peça, já que o

triângulo de dimensões 6, 8 e 10 é retângulo, temos:

(6 – r) + (8 – r) = 10 

⇔ r = 2

E

E

N



N

E

E



M

M





N

N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

165

E

E

A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos

pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios

ao construírem as pirâmides.

BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos,

em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do

bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma

volta completa sem deslizar, é

a) y = R.

b) y = 2R.

c) y = 


πR.

d) y = 2


πR.

e) y = 4


πR.

Resolução

O ponto A, mais alto do rolo cilíndrico, tem velocidade

igual ao dobro da velocidade do centro C do rolo

cilíndrico. Quando o tambor dá uma volta completa,

o seu centro C se desloca 2πR e o objeto que está em

contato com o ponto A vai deslocar-se o dobro, isto é,

4πR.

E

E



N

N

E



E

M

M





N



N

O

O

V

V

E

E

M

M

B

B

R

R

O

O

/

/

2

2

0

0

1

1

0

0

166

C

C

O gráfico mostra o número de favelas no município do

Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a

variação nesse número entre os anos considerados é

linear.

Favela Tem Memória. Época. N.



o

621, 12 abr. 2010 (adaptado).

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se

mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número

de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em

2016 será

a) menor que 1150.

b) 218 unidades maior que em 2004.

c) maior que 1150 e menor que 1200.

d) 177 unidades maior que em 2010.

e) maior que 1200.


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