Ministério da Educação universidade tecnológica federal do paraná Campus Curitiba



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Ministério da Educação

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Curitiba






PLANO DE ENSINO




CURSO

Bacharelados e Licenciaturas do Campus Curitiba da UTFPR.

MATRIZ

(SA)





FUNDAMENTAÇÃO LEGAL

Conforme Resolução do COGEP que aprovou a Matriz Curricular ou Resoluções posteriores relativas à Disciplina / Unidade Curricular (SA).



DISCIPLINA/UNIDADE CURRICULAR


CÓDIGO

PERÍODO




CARGA HORÁRIA (aulas)

Geometria Analítica e Álgebra Linear.

MA71B


1º.




AT

AP

APS

AD

APCC

Total

102

0

6

0

0

108

AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas.




PRÉ-REQUISITO

Sem Pré-Requisitos.

EQUIVALÊNCIA


MA31K, K1D040, MA61B.




OBJETIVOS

Enunciar e explicar os conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Apresentar os teoremas fundamentais de geometria analítica e álgebra linear que auxiliam na resolução de problemas.






EMENTA

1 Sistemas de Coordenadas.

2 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares.

3 Álgebra Vetorial

4 Produto de Vetores.

5 Estudo Analítico da Reta e do Plano.

6 Espaços Vetoriais.

7 Transformações Lineares.

8 Espaço com Produto Interno.

9 Autovalores e Autovetores.

10 Cônicas e Quádricas.





CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

ITEM

EMENTA

CONTEÚDO

1

Sistemas de Coordenadas.

1.1 Coordenadas Cartesianas e Polares.

1.2 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares.

1.3 Coordenadas Cilíndricas, Esféricas.

1.4 Relações entre Coordenadas Cilíndricas e Cartesianas.

1.5 Relações entre Coordenadas Esféricas e Cartesianas.

1.6 Relações entre Coordenadas Cilíndricas e Esféricas.

1.7 Gráfico em Coordenadas Polares.


2

Matrizes e

Sistemas de Equações Lineares.



2.1 Definição e notações

2.2 Tipos de matrizes.

2.3 Operações e suas propriedades.

2.4 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e matrizes equivalentes.

2.5 Matrizes inversíveis e suas propriedades.

2.6 Cálculo de matriz inversa através das operações

elementares.

2.7 Determinante: definição e propriedades.

2.8 Definição de Sistemas de Equações lineares.

2.9 Representação de um sistema linear na forma matricial.

2.10 Tipos de sistemas: homogêneo e não-homogêneo.

2.11 Operações elementares e sistemas equivalentes.

2.12 Existência e Unicidade de Soluções.

2.13 Resolução e discussão de Sistemas de Equações Lineares por escalonamento.



3

Álgebra Vetorial.

3.1 Segmentos Orientados.

3.2 Definição de Vetor.

3.3 Operações com vetores, de forma geométrica, e suas

propriedades.

3.4 Expressão cartesiana de um vetor.

3.5 Operações com vetores, de forma analítica, e suas

propriedades.

3.6 Vetores colineares e coplanares.



4

Produtos de vetores.

4.1 Produto escalar: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana

4.2 Norma de um vetor, distância entre dois pontos e ângulos entre dois vetores.

4.3 Ortogonalidade entre dois vetores e projeção ortogonal.

4.4 Produto vetorial: : Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana

4.5 Área do Paralelogramo.

4.6 Produto Misto: : Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana

4.7 Volume de um Paralelepípedo.

4.8 Duplo Produto Vetorial.







5

Estudo Analítico da Reta e do Plano.


5.1 Equação da reta na forma: vetorial, paramétrica,

simétrica e reduzida.

5.2 Condição de colinearidade de três pontos.

5.3 Posições Relativas entre duas Retas.

5.4 Ângulo entre duas retas.

5.5 Equação do plano na forma: geral, vetorial e

paramétrica.

5.6 Condição de coplanaridade de quatro Pontos.

5.7 Posições relativas entre reta e plano.

5.8 Posições Relativas entre dois Planos.

5.9 Ângulo entre dois planos.

5.10 Distância entre ponto e reta, entre duas retas, entre

ponto e plano, entre reta e plano e entre planos.


6

Espaços Vetoriais.

6.1 Definição e exemplos.

6.2 Subespaços vetoriais: definição e exemplos

6.3 Dependência e Independência linear.

6.4 Subespaços vetoriais finitamente gerados

6.5 Interseção, soma e soma direta de subespaços vetoriais.

6.5 Bases, dimensão e teoremas relacionados.

6.6 Coordenadas de um vetor com relação a uma base ordenada.

6.7 Mudança de base.



7

Transformações Lineares.

7.1 Definição, exemplos e propriedades.

7.2 Núcleo e imagem: definição, exemplos e propriedades.

7.3 Teorema do núcleo e da imagem.

7.4 Representação matricial de uma transformação linear.

7.5 Transformações Invertíveis e suas propriedades.

7.6 Existência de uma transformação linear conhecendo a

imagem de cada vetor de uma base.


8

Espaços com Produto Interno.

8.1 Definição, exemplos e propriedades.

8.2 Norma: definição e propriedades.

8.3 Ortogonalidade e ortonormalidade.

8.4 Relação entre produto interno e as coordenadas de um vetor.

8.5 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

8.6 Complemento ortogonal.





9

Autovalores e Autovetores.

9.1 Definição, exemplos e propriedades.

9.2 Polinômio característico.

9.3 Multiplicidade algébrica e geométrica.

9.4 Operadores diagonalizáveis.

9.5 Diagonalização: condições necessárias e suficientes.


10

Cônicas e Quádricas.

10.1 Estudo Analítico da Elipse.

10.2 Estudo Analítico da Hipérbole.

10.3 Estudo Analítico da Parábola.

10.4 Estudo Analítico das Quádricas.



10.5 Translação e Rotação de Cônicas e Quádricas com o uso de autovalores e autovetores.


PROFESSORA


TURMAS

Vanessa Hlenka


S73 e S81




Ano/Semestre

CARGA HORÁRIA (aulas)

2012/02

AT

AP

APS

AD

APCC

Total

100




6







106

AT: Atividades Teóricas, AP: Atividades Práticas, APS: Atividades Práticas Supervisionadas, AD: Atividades a Distância, APCC: Atividades Práticas como Componente Curricular.




DIAS DAS AULAS PRESENCIAIS

Dia da semana

Segunda

Terça

Quarta

Quinta

Sexta

Sábado

Número de aulas no semestre (ou ano)







16

18

16







PROGRAMAÇÃO E CONTEÚDOS DAS AULAS (PREvisão)

Dia/Mês ou Semana ou Período

Conteúdo das Aulas

Número de Aulas

05/dez

Apresentação da disciplina.
Sistema de Coordenadas: Coordenadas Cartesianas e Polares; Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares; Coordenadas Cilíndricas, Relações entre Coordenadas Cilíndricas e Cartesianas;


2

06/dez

Sistema de Coordenadas: Coordenadas Esféricas; Relações entre Coordenadas Esféricas e Cartesianas; Relações entre Coordenadas Cilíndricas e Esféricas;


2

07/dez

Sistema de Coordenadas: Gráfico em Coordenadas Polares; Apresentação do programa Winplot.

Exercícios


2

12/dez

Matrizes: Definição e notações; Tipos de matrizes; Operações e suas propriedades;


2

13/dez

Matrizes: Matrizes não singulares e suas propriedades; Cálculo de matriz inversa através das operações elementares;


2

14/dez

Determinante: definição e propriedades; Cálculo de determinantes pelo método de: Sarrus, Cramer e Triangulação;


2

19/dez

Sistemas de Equações Lineares: Definição; Representação de um sistema linear na forma matricial; Tipos de sistemas: homogêneo e não-homogêneo; Operações elementares e sistemas equivalentes; Existência e Unicidade de Soluções;


2

20/dez

Sistemas de Equações Lineares: Resolução e discussão de Sistemas de Equações Lineares por escalonamento.


2

21/dez

Apresentação do software Octave (laboratório de matemática)

Resolução de exercícios dos conteúdos: Matrizes, determinantes e Sistemas de equações lineares.




2

06/fev

Álgebra Vetorial: Segmentos Orientados; Definição de Vetor; Operações com vetores, de forma geométrica, e suas propriedades; Expressão cartesiana de um vetor;


2

07/fev

Álgebra Vetorial: Operações com vetores, de forma analítica, e suas propriedades; Vetores colineares e coplanares.


2

08/fev

Exercícios- Vetores


2

14/fev

Produto de Vetores: Produto escalar: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana; Norma de um vetor, distância entre dois pontos e ângulos entre dois vetores; Ortogonalidade entre dois vetores e projeção ortogonal;


2

15/fev

Produto de Vetores: Produto vetorial: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana; Área do Paralelogramo;


2

20/fev

Produto de Vetores: Produto Misto: Definição, interpretação geométrica, propriedades e expressão cartesiana; Volume de um Paralelepípedo; Duplo Produto Vetorial.


2

21/fev

Exercícios- Produto de Vetores


2

22/fev

Retas e Planos: Equação da reta na forma: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida; Condição de colinearidade de três pontos; Posições Relativas entre duas Retas; Ângulo entre duas retas;

2

27/fev


Retas e Planos: Equação do plano na forma: geral, vetorial e paramétrica; Condição de coplanaridade de quatro Pontos. Posições relativas entre reta e plano; Posições Relativas entre dois Planos; Ângulo entre dois planos;


2

28/fev

Retas e Planos: Distância entre ponto e reta, entre duas retas, entre ponto e plano, entre reta e plano e entre planos.


2

01/mar

Exercícios- Retas e Planos


2

06/mar

Primeira Avaliação (P1)

Assunto: sistemas de coordenadas; matrizes; determinantes; sistemas de equações lineares; álgebra vetorial; produto de vetores;

Retas e planos.



2

07/mar

Espaços Vetoriais: Definição e exemplos; Subespaços vetoriais: definição e exemplos;


2

08/mar

Espaços Vetoriais: Interseção, soma e soma direta de subespaços vetoriais. Dependência e Independência linear;


2

13/mar

Espaços Vetoriais: Subespaços vetoriais finitamente gerados;


2

14/mar

Espaços Vetoriais: Bases, dimensão e teoremas relacionados.


2

15/mar

Espaços Vetoriais: Coordenadas de um vetor com relação a uma base ordenada; Mudança de base.


2

20/mar

Exercícios- Espaços Vetoriais


2

21/mar

Transformações Lineares: Definição, exemplos e propriedades; Núcleo e imagem: definição, exemplos e propriedades;


2

22/mar

Transformações Lineares: Teorema do núcleo e da imagem; Representação matricial de uma transformação linear;


2

27/mar

Transformações Lineares: Transformações Invertíveis e suas propriedades;


2

28/mar

Transformações Lineares: Existência de uma transformação linear conhecendo a imagem de cada vetor de uma base.


2

03/abr

Exercícios- Transformações Lineares


2

04/abr

Segunda Avaliação Presencial (P2)

Assunto: Espaços Vetoriais; Transformações Lineares.




2

05/abr

Espaços com Produto Interno: Definição, exemplos e propriedades; Norma: definição e propriedades;


2

10/abr

Espaços com Produto Interno: Ortogonalidade e ortonormalidade; Relação entre produto interno e as coordenadas de um vetor;


2

11/abr

Espaços com Produto Interno: Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt; Complemento ortogonal.


2

12/abr

Exercícios- Espaços com Produto Interno


2

17/abr

Auto valores e Autovetores: Definição, exemplos e propriedades; Polinômio característico; Multiplicidade algébrica e geométrica;


2

18/abr

Auto valores e Autovetores: Operadores diagonalizáveis; Diagonalização: condições necessárias e suficientes.


2

19/abr

Exercícios- Autovalores e Autovetores:.


2

24/abr

Aula no laboratório de matemática: software Octave. Resolução de exercícios de Autovalores e Autovetores.


2

25/abr

Cônicas e Quádricas: Estudo Analítico da Parábola; Estudo Analítico da Elipse; Estudo Analítico da Hipérbole;


2

26/abr

Cônicas e Quádricas: Estudo Analítico das Quádricas;


2

02/mai

Cônicas e Quádricas: Estudo Analítico das Quádricas; Translação e Rotação de Cônicas e Quádricas com o uso de autovalores e autovetores.


2

03/mai

Cônicas e Quádricas: Translação e Rotação de Cônicas e Quádricas com o uso de autovalores e autovetores.


2

08/mai

Exercícios- Cônicas e Quádricas


2

09/mai

Terceira Avaliação Presencial (P3)

Assunto: Espaços com produto interno; autovalores e autovetores; cônicas e quádricas.




2

10/mai

Provas de Segunda Chamada


2

15/mai

Prova de recuperação

Assunto: conteúdo de todo o semestre.




2

16/mai

Divulgação de Notas de encerramento das atividades


2




PROCEDIMENTOS DE ENSINO

Aulas Teóricas

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Aulas expositivas com eventual uso de recursos gráficos e computacionais.


Aulas PRÁTICAS

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Não se aplica.


Atividades Práticas Supervisionadas

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Listas de exercícios complementares a serem entregues nas datas das avaliações parciais. Correspondem a 10% da nota das mesmas.


Atividades A DISTÂNCIA

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Não se aplica.


Atividades Práticas como Componente Curricular

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Não se aplica.





PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

Conforme estabelecido no Regulamento Didático-Pedagógico do correspondente Curso e de acordo com o Plano de Aula do Professor da Disciplina.

Atendendo ao parágrafo terceiro, do artigo 34, do capítulo VII, da Resolução número 112/10/COEPP, de 29 de novembro de 2010, que estabelece que: para possibilitar a recuperação do aproveitamento acadêmico, o professor deverá proporcionar reavaliação ao longo e/ou ao final do semestre letivo, a avaliação da disciplina será dividida em duas formas as quais passam a ser identificadas como: Avaliação Normal e Avaliação de Recuperação.
Será considerado aprovado o aluno que tiver frequência igual ou superior a 75% (setenta e cinco por cento) das aulas ministradas e nota igual ou superior a 6,0 (seis) obtida na Avaliação Normal ou na Avaliação de Recuperação.

A Avaliação Normal será obtida através da média ponderada de quatro avaliações parciais dispostas conforme as datas previstas neste documento. As avaliações P1, P2 e P3 terão valor 9,0 (cada), enquanto APS1, APS2 e APS3 terão valor 1,0 (cada). A nota da Avaliação Normal (AN) será obtida através da seguinte fórmula:


AN = [(P1+APS1) +( P2+APS2) +( P3 + APS3)] / 3
A Avaliação de Recuperação (AR) ocorrerá após a Avaliação Normal e tais avaliações não guardarão entre si quaisquer formas de relacionamento que estejam associadas aos conceitos de médias ou de proporções. Cada uma destas avaliações ocorrerão independentemente uma da outra e cada uma terá valor máximo de 10 (dez) pontos. Qualquer um dos alunos, tanto aqueles com nota menor que 6,0 na Avaliação Normal quanto os já aprovados com nota igual ou superior a 6 nesta, poderão realizar a Avaliação de Recuperação. A Avaliação de Recuperação (AR) substituirá a nota da P1, P2, P3 ou AN, de acordo com qual substituição lhe permitir ficar com a maior nota, que será considerada a sua Média Final.





REFERÊNCIAS

Referencias Básicas:

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria anatica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

STEWART, J. Cálculo – vol. 2. 6ª ed. São Paulo: Thomson, 2005.




Referências Complementares:

ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.

KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à Álgebra Linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

VALLADARES, R. J. C. Geometria Analítica do Plano e do Espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.






ORIENTAÇÕES GERAIS















Assinatura do Professor




Assinatura do Coordenador do Curso




Revisado por:

George Arruda Gomm

Data:

27/09/2011

Aprovado por:

Violeta Maria Estephan

Vigora a partir de:

2ª Semestre de 2011

Formulário Unificado / Gerência de Ensino



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