Critérios de divisibilidade

Estudando mais sobre múltiplos e divisores

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REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES NA FORMA DE POTÊNCIA

Estudando mais sobre múltiplos e divisores

O cálculo dos divisores de um número foi estudado anteriormente de uma forma muito simples: encontrando as multiplicações.

Exemplo. Para encontrar os divisores de 20, escreve-se:
20 = 4 x 5, 20 = 2 x 10 e finalmente, 20 = 1 x 20. Logo D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
A dificuldade é encontrar os divisores de números maiores. Precisamos ter certeza de que não esquecemos de nenhum. Imagine encontrar D(360)? Vamos utilizar a decomposição em fatores primos para encontrar não só os divisores, como a quantidade.
Exemplo. Encontrar os divisores de 360. Essa decomposição já está feita. Um procedimento muito prático é adicionar uma linha vertical ao lado dos números primos e colocar o divisor de todos, 1, no topo. Cada fator primo será multiplicado por todos os outros da linha acima dele. Veja.

D(360) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}.
Repare que são muitos divisores e poderíamos esquecer algum na hora de listá-los. Como saber, antes de calculá-los, quantos seriam? É possível, mas precisamos antes entender uma forma de representar as multiplicações. A potência.

REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES NA FORMA DE POTÊNCIA

Muita vezes a decomposição mostra uma fatoração como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em Matemática é usual representar essas multiplicações da seguinte forma:

a) 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ . Lê-se dois elevado à quarta potência.
Atenção! Esse resultado não é 8 e sim, 16. Muito cuidado.
b) 3 x 3 = 3² . Lê-se três elevado à segunda potência ou três elevado ao quadrado.
O resultado é 9.
c) 4 x 4 x 4 = 4³ . Lê-se quatro elevado à terceira potência ou quatro elevado ao cubo.
OBSERVAÇÕES.
1) Somente as potências 2 e 3, possuem nomes especiais de quadrado e cubo.
2) No caso de aparecer somente um fator primo, a potência é considerada 1. Exemplos: representamos 3 = 3¹, 5 = 5¹, 10 = 10¹. É desnecessário utilizar a potência 1. Ela será considerada no caso do cálculo dos divisores.
Voltando à decomposição em fatores primos de 360, podemos escrever na forma de potência como:
360 = 2³ x 3² x 5
O procedimento que permite calcular os divisores consiste em somar 1 a cada potência e multiplicar esses resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potência é 1.

360 = 2⁽³⁺¹⁾ x 3⁽²⁺¹⁾ x 5⁽⁵⁺¹⁾
Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os divisores que você encontrou.

Exercícios

1) Quantos números de 3 a 26 não são múltiplos de 2?_____________

2) Qual o maior múltiplo de 7 entre 100 e 1000?____________________
3) Escreva 3 múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo entre 100 e 200._______________
4) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação abaixo:
( ) a decomposição em fatores primos de 300 é 2 x 2 x 3 x 5 x 5.

( ) a decomposição em fatores primos de 100 é 2 x 2 x 2 x 5.

( ) a decomposição em fatores primos de 38 é 2 x 2 x 7.

( ) a decomposição em fatores primos de 56 é 2 x 2 x 2 x 7.

( ) a decomposição em fatores primos de 350 é 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
5) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso);
( ) Todo número natural é múltiplo de 1.

( ) Todo número natural é múltiplo de zero.

( ) O número zero é múltiplo de todos os números.

( ) O conjunto dos múltiplos de 3 é o conjunto dos números ímpares.

( ) Todo número primo é ímpar.

( ) Alguns números primos são ímpares.

( ) 1 é primo e ímpar.

( ) Todo número múltiplo de 4 é múltiplo de 2.

( ) Todo múltiplo de 2 e 5 tem como algarismos das unidades o 0.
6) Escreva os números que se pede abaixo:
a) Um número de 3 algarismos múltiplo de 5: _________________

b) Um número de 5 algarismos diferentes múltiplo de 4: __________

7) Num país, a eleição para presidente ocorre a cada 5 anos e para prefeito, a cada 4 anos. Se em 2012 houve coincidência das eleições para esses cargos, qual o próximo ano em que elas voltarão a coincidir?
R- ___________________________________________________________________
8) Um carteiro tem várias correspondências para entregar numa rua numerada de 1 a 30. Para as casas pares ele entregará as contas de gás e para as casas terminadas em 0 ou 5 ele entregará as contas de luz.
a) Quantas casas receberão contas de luz? ________________

b) Quantas casas receberão contas de gás? _________________

c) Quantas casas receberão as duas contas? _________________

d) Quantas casas receberão só contas de luz? _______________

e) Quantas casas receberão só contas de gás? _______________

f) Quantas casas não receberão contas nem de luz, nem de gás? _____________

9) O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, não são bissextos: são aqueles que também são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é:

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

10) Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por que?

_____________________________________________________________________

11) Ache o MMC:

a) MMC (9, 18) =__________

b) MMC (20, 25) =___________

c) MMC (4,10) =_____________
12) Encontre todos os divisores dos números abaixo.

a) d(140) =_________________________________

b) d(1320) =________________________________

c) d(240) =_________________________________

d) d(1001) =________________________________

e) d(2².3².5) =_______________________________

Bom estudo!!!!!

Não desista, os exercícios estão mais puxados, mas lembre-se que você estará largando na frente dos seus concorrentes lá no vestibular (ENEM).

Qualquer dúvida estou a disposição para ajudá-lo.

Whatss: 99999-4474

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