Cálculo e Instrumentos Financeiros Taxa de Juro, Capitalização e Desconto Pedro Cosme da Costa Vieira



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Cálculo e Instrumentos Financeiros

Taxa de Juro, Capitalização e Desconto

Pedro Cosme da Costa Vieira

Faculdade de Economia da Universidade do Porto, Portugal

2015

Preâmbulo

O Cálculo Financeira (ou Matemática Financeira) desenvolve e aplica ferramentas matemáticas para modelizar o comportamento das variáveis financeiras onde se inclui o comportamento do preço dos intrumentos financeiros transaccionados em mercados sem se preocupar com os fundamentais económicos desses activos.

A Ciência Economica preocupa-se com a afectação dos recursos escassos. Assim, começando na exploração dos recursos naturais, a Ciência Economica preocupa-se com a sua transformação, produção de bens e serviços e a sua distribuição pelos indivíduos seja através dos salários, dos lucros e rendas ou das transferências. Numa economia de mercado, os bens e serviços são transaccionados no mercado mediante um preço. A existência de concorrência nos mercados de bens e serviços é fundamental para a produção (para que as pessoas se possam especializar nas actividades em que têm vantagens comparativas e para que possa ser ultrapassada a escala mínima de produção e aproveitadas as economias de escala) e para a distribuição (permite que as pessoas revelem os seus gostos e preferências).

A Finança não trata dos recursos escassos no sentido considerado pela Economia mas trata no sentido de estudar e desenvolver intrumentos que “titularizam” os recursos escassos. Assim, os instrumentos financeiros não são recursos escassos per si mas podem ser transformados em recursos escassos (e noutros instrumentos financeiros). A grande inovação da Finança é que os instrumentos financeiros, apesar de não serem um recurso escasso, ao serem transaccionados em mercado (e.g., na bolsa de valores mobiliários) que têm baixos custos de transacção e de diversificação do risco, levam à mudança de titularidade dos recursos escassos que dão base aos instrumentos financeiros.

O Cálculo Financeiro tem como axiomas fundamentais que i) não é possível obter ganhos por arbitragem (i.e., não é possível realizar um ganho sem investimento inicial e sem risco de perda) e que ii) os mercados são completos (i.e., um indivíduo que tenha um dado activo no instante de tempo T, pode transferi-lo para qualquer outro instante de tempo M mediante uma taxa de juro R de transformação, VM =VT.(1 + R)M–T).

Em termos de organização do texto, vou considerar, modelos sem risco aplicaveis a depósitos bancários e a obrigações e, depois, modelos com risco aplicáveis a seguros e a acções. Ainda dentro dos activos com risco, apresentarei instrumentos derivados (opções de compra e opções de venda) usando modelos de simulação.

Em termos mais detalhados, na primeira parte deste texto abordo conceitos básicos como taxa de juro e suas componentes, capitalização simples e composta, desconto. Depois, apresento instrumentos financeiros denominados sem risco, i.e., os depósitos e créditos bancários e as obrigações. Como a inflação é uma componente importante da taxa de juro, considero ainda o conceito de Índice de Preços, Taxa de Inflação, Preços Correntes e Preços Constantes.

Na segunda parte do texto apresento sucintamente as ferramentas da folha de cálculo Excel. Apesar da generalidade dos alunos iniciar os seus estudos universitários com razoáveis conhecimentos de informática, a capacidade de utilizar uma folha de cálculo é muito reduzida.

Está diponível um ficheiro Excel com os exemplos algébricos apresentados neste texto http://www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101/CIF2015_parte1.xls).

Índice




Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto 5

1.0. Introdução 5

1.1. Taxa de juro 8

Componentes da taxa de juro 15

i) Taxa de inflação

ii) Remuneração real

iii) Compensação de potenciais perdas – risco

Taxas de referência (EURIBOR, LIBOR, Taxa de Desconto do BCE) 19

1.2. Capitalização – Valor Futuro 25

Capitalização simples

Capitalização composta

1.3. Desconto – Valor Actual ou Valor Presente 34

1.4. Pagamento da dívida – Rendas 37

Expressão Algébrica da Renda perpétua

Expressão Algébrica da Renda de duração limitada

TAEG implícita num contrato

1.5. Preços correntes e preços constantes 49

Taxa de inflação

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

1.6. Contrato de Mútuo – Enquadramento legal 58


Capítulo 2. Folha de Cálculo – Ferramentas básicas 61

Expressões algébricas

Ferramenta Data + Goal Seek

Ferramenta Data + Solver


Bibliografia 68

Taxa de juro, capitalização e desconto





1.0 Introdução


A Ciencia Económica trata da afectação dos recursos escassos. Quer isto dizer que numa economia à Robinson Crusoé (em que não há comércio porque cada indivíduo produz tudo o que consome), partindo de uma porção de terra e de trabalho, a Ciência Económia trata da decisão do indivíduo quanto à produção de milho, trigo, couves ou feijão, da transformação dos produtos agrícolas produzidos em galinhas, porcos ou tortilhas e de que parte da produção vai para consumo e para investimento. Mas como não vivemos isolados, a Ciência Economica trata também da troca entre os diversos agentes económicos e de como essa troca aumenta o bem estar dos individuos.

Uma economia pode ser vista como um circuito aberto que começa nos Recursos Naturais e acaba na Lixeira tendo dois circuitos fechados no seu interior (o circuito do trabalho  Consumo e o circuito do Capital  Investimento).


Fig. 1.1 – A economia vista como um circuito aberto que começa nos Recursos Naturais e termina na Lixeira


O mercado induz ganhos no bem-estar das populações porque as trocas permitem que os individuos se especializem nas actividades em que têm vantagens comparativas, permitem o explorar das economias de escala e que sejam compatibilizados os gostos e preferências individuais com as possibilidades de produção. As interacções no mercado resultam na afixação de um preço (a relaçãi de troca, por exemplo, um kg de galinha por 6kg de milho) que vai ser incorporado no processo de compatibilizar das possibilidades de produção com as necessidades (gostos e preferências) dos individuos de forma a que a economia como um todo funcione no ponto óptimo (ou próximo desse ponto).

A Finança não trata directamente dos recursos escassos porque trata apenas da “titularização” dos recursos escassos que existem na economia. Assim, cria um sistema de contabilização dos recursos escassos que materializa em “títulos”. Depois, esses títulos autonomizam-se e passam a ser considerados como se fossem recursos escassos.

O instrumento financeiro com o qual temos mais contacto é a Moeda. Quando, por exemplo, eu trabalho 10 horas (que é um recurso escasso) em troca de uma nota de 100€ (que, no fundamento, não é um recursos escasso pois não pode ser consumida e podem ser produzidas mais notas), estou apenas a titularizar o valor do meu trabalho. Apenas aceito esses titulos (sem valor intrínseco) em troca do meu trabalho (com valor intrínseco) porque acredito que existem bens e serviços na economia que eu posso adquirir em troca dos títulos que obtive como pagamento do meu trabalho. Assim, quando tenho na carteira a nota de 100€ o seu valor já não resultar de originalmente o meu trabalho ter valor mas apenas de, com esse título, poder adquirir os bens e serviços escassos que quero consumir.

O “título” que traduz a nota de 100€ está autonomizada não só relativamente ao valor do meu trabalho e dos demais bens e serviços produzidos na economia como pode ser trocado por outros “títulos”, por exemplo, posso trocar a nota de 100€ por 5 notas de 20€ ou trocar (emprestado) por 3 notas de 50€ de daqui a 10 anos (recebendo 50€ de juros).

Além das notas (actualmente, todas as economias têm moeda), existem outros instrumentos financeiros capazes de titularizar recursos escassos. Por exemplo, posso titularizar uma casa (cujo preço de hoje é 100000€, permite ter uma renda de 300€/mês e receber 60000€ daqui a 25 anos) em 100 “obrigações” de 1000€ cada que paga uma mensalidade de 3,00€/mês e ainda 600€ ao fim de 25 anos. Agora, estas obrigações podem ser vendidas de forma independente da casa e podem mesmo ser transformadas (por exemplo, separado o pagamento final que vendo por 32650€, do valor da mensalidade que vendo por 67350€) ou combinados com outros títulos na construção de novos activos financeiros.

Vamos supor que um empreendedor cria uma empresa na qual investe em máquinas, conhecimento e organização um total de 100 mil € e da qual se prevê um lucro anual entre 5mil€ e 25mil€ durante um horizonte temporal de 10 anos findo o qual a empresa será vendida por 50mil€. Esta empresa pode ser titularizada em 50 obrigações de 1000€ que pagam um cupão anual de 100€ e um valor final de 1000€ (uma taxa de juro de 10%/ano) e ainda 50 acções em que cada uma terá direito a um lucro anual entre 0€ e 400€ de que resulta que cada uma das acções terá, para uma taxa de juro de 15%/ano, um valor financeiro de 1000€/cada. Criados estes títulos, estes podem ser comprados e vendidos e podem ser criados fundos de investimento (uma mistura de títulos correspondentes a obrigações e acções de várias empresas) que, por sua vez, também podem ser transformados em obrigações e acções (estes títulos são denominados “títulos de participação em produtos estruturados”) e vendidos.

Como os activos financeiros têm menores custos de transacção e estão em suporte virtual (maioritariamente), actualmente o volume de transacções de intrumentos financeiros é muito superior ao volume de transacções dos bens e serviços que lhes são subjacentes.

Apesar de a titularização cria um activo financeiro que se autonomiza do recurso escasso subjacente, nunca nos devemos esquecer que o “título” não é um recurso escasso pelo que a “poupança de títulos” não traduz verdadeiramente uma poupança de recursos escassos da economia como um todo.

Nos modelos que vamos tratar será assumido que os mercados financeiros são completos o que traduz que são transaccionados no mercado títulos referentes a todos os instantes de tempo desde hoje até a um horizonte temporal distante. Quer isto dizer que se tenho recursos hoje, posso usar activos financeiros para transformar esses recursos noutros recursos disponíveis num instante futuro qualquer mediante uma relação de transformação que está dependente da taxa de juro de mercado e do tempo que medeia entre o intante presente e esse instante futuro. Por exemplo, posso “enviar” 100€ para daqui a 25 anos (emprestando hoje os 100€) recebendo em 2040 um total de 200€. Para eu poder realizar esta troca tem que haver no mercado uma cadeia de individuos que materializem a minha vontade realizando operações contrárias (“trazem” 200€ de daqui a 25 anos para o presente transformando-os em 100€). Assim sendo, a minha vontade de “levar” o dinheiro apra o futuro é a Oferta do Mercado (eu sou o produtor de poupança) e a resposta dos outros indivíduos é a Procura do Mercado (os outros são os consumidores da minha poupança).



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