Bombons a Granel Série Matemática na Escola



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Bombons a Granel 

Série Matemática na Escola 

Objetivos 

1.

  Introduzir e mostrar aplicações do produto 



de matrizes. 

Bombons a 

granel 


 

Série 


Matemática na Escola 

Conteúdos 

Produto de matrizes. 

Duração 


Aprox. 10 minutos. 

Objetivos 

1.

  Introduzir e mostrar 



aplicações do produto de 

matrizes. 

 

 

Sinopse 



Dona Ioná vende bombons em 

caixinhas, mas tem dificuldade 

em colocar o preço em cada uma 

delas. Para resolver seu 

problema, ela conta com a ajuda 

de Jorge, que através do uso de 

matrizes, ajuda Dona Ioná a 

calcular o preço de cada caixa. 

Material relacionado 

Experimentos: Mensagens 

secretas com matrizes; 

Vídeos: Gabarito secreto; 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  3/10 

Introdução 

Sobre a série 

A  série  Matemática  na  Escola  aborda  o  conteúdo  de  matemática  do 

ensino  médio  através  de  situações,  ficções  e  contextualizações.  Os 

programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de 

um  assunto  a  ser  estudado  em  sala  de  aula  pelo  professor.  Os 

programas  são  ricos  em  representações  gráficas  para  dar  suporte  ao 

conteúdo  mais  matemático  e  pequenos  documentários  trazem 

informações interdisciplinares. 

 

Sobre o programa 



Este  é  um  vídeo  que  pode  ser  usado  para  introduzir  o  produto  de 

matrizes  e  conta  a  história  de  Dona  Ioná,  que  fabrica  bombons  em 

casa  e  os  vende  em  caixinhas,  cada  uma  com  uma  distribuição 

diferente,  entre  bombons  de  chocolate  ao  leite,  meio  amargo  e  diet. 

Sua  dificuldade  é  colocar  o  preço  ideal  em  cada  caixinha,  e  ela 

comparece a um programa de televisão onde recebe a ajuda de Jorge.  

 

Figura 1: Tabelas com as informações 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  4/10 

Sua sugestão é de organizar os dados em tabelas, para isso pede a D. 

Ioná informações como o conteúdo de cada kit e o preço de cada tipo 

de bombom e ainda sugere que ela informe o valor energético de cada 

um.  

Para  calcular  o  preço  de  cada  kit,  Jorge  explica  que  basta 



multiplicarmos  a  quantidade  de  bombons  de  cada  tipo  pelo  seu 

respectivo preço e somar os resultados obtidos. Isso pode ser feito de 

forma  organizada  e  para  os  quatro  kits  através  de  um  produto  de 

matrizes. 

Produto de Matrizes 

Sejam  as  matrizes  A=(a

ij

)

mxn



,  B=(b

ij

)



nxp

  e  C=(c

ij

)

mxp



.  Diz-se  que  C  é  o 

produto  de  A  por  B,  e  vamos  indicar  por  AxB,  se,  e  somente,  cada 

elemento  c

ij

  é  obtido  multiplicando-se  ordenadamente  os  elementos 



da  linha  i  de  A  pelos  elementos  da  coluna  j  de  B,  adicionando-se  os 

produtos assim obtidos 

Essa descrição é bastante complicada de entender sem uma percepção 

visual do que ocorre ao se multiplicar duas matrizes. Um dos objetivos 

desse  vídeo,  inclusive,  é  mostrar  de  maneira  visual  como  se  faz  a 

multiplicação de duas matrizes. 

 

Figura 2: Matrizes. 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  5/10 

No vídeo, as tabelas são transformadas em matrizes como na Figura 2 

e,  em  seguida,  são  dispostas  espacialmente  de  maneira  a  facilitar  a 

realização da multiplicação, como mostrado na Figura 3. 

 

Figura 3 



Como  definido,  o  produto  é  feito  pela  multiplicação  dos  termos  das 

linhas da primeira matriz pelos termos das colunas da segunda, como 

se segue: 

 

Figura 4: produto de matrizes 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  6/10 

O  elemento  a  representa  o  preço  do  Kit  1.  Soma  de  20  bombons  de 

chocolate ao leite a R$1,00, 15 de chocolate meio amargo a R$1,50 e 

5  bombons  diet  a  R$2,00.  O  elemento  resultante  do  produto  da 

primeira  linha  da  matriz  à  esquerda  pela  segunda  coluna  da  matriz  à 

direita,  será  o  valor  enérgico  do  Kit  1.  E  assim  sucessivamente,  até 

completarmos a matriz com os preços e calorias dos 4 kits. 

 

Figura 5: produto completo. 



A  matriz  resultante  pode  ser  representada  por  uma  tabela  que 

organiza ainda mais as informações, Figura . 

 

Figura 6: Preço e Calorias de cada Kit 



Essa  matriz  contém  todas  as  informações  que  Dona  Ioná  precisa.  Por 

exemplo,  se  ela  quisesse  saber  apenas  o  preço  do  Kit  2,  bastaria 

multiplicar apenas a segunda linha da matriz à esquerda pela primeira 

coluna da matriz à direita, como mostrado abaixo. 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  7/10 

 

Figura 7: segunda linha x primeira coluna 



Existência do produto de matrizes 

Pela  própria  definição  da  multiplicação  de  matrizes,  temos  que  uma 

condição  necessária  e  suficiente  para  que  o  produto  entre  duas 

matrizes A e B exista é: o número de 

colunas

 de A deve ser igual ao 



número de 

linhas


 de B. 

A ordem é importante, já que o produto de matrizes não é comutativo, 

isto é, a menos de casos particulares, AxB≠BxA.  

 

Figura 6: exemplo. 



 

 

VÍDEO 


Bombons a granel  8/10 

Como mostrado no vídeo, o produto A

nxm

 x B


pxq

, onde o primeiro índice 

representa  o  número  de  linhas  e  o  segundo,  o  número  de  colunas, 

existe  se,  e  somente  se,  m=p.  Neste  caso  teríamos  A

nxm

  x  B


mxq

,  e  a 


dimensão  da  matriz  resultante  será  nxq.  Veja  a  imagem  acima  que 

exemplifica um produto deste. 

Para  exercitar  mais  o  conteúdo  do  presente  material,  sugerimos  o 

Experimento  Mensagens  Secretas  com  Matrizes,  que  pode  ser  usado 

também para trabalhar outros conceitos, como inversão de matrizes e 

determinantes, além de mostrar mais aplicações envolvendo matrizes, 

como na criptografia.  

Sugestões de atividades 

Depois da execução 

Como um exercício de fixação, peça aos alunos que introduzam mais 

um  coluna  na  segunda  matriz,  a  que  contém  o  preço  e  a  quantidade 

de  calorias  de  cada  bombom.  Uma  coluna  com  a  informação  sobre  a 

quantidade de gorduras totais de cada tipo. A coluna deve ser retirada 

da seguinte tabela: 

Tipo de bombom 

Gorduras totais (g) 

Ao leite 

7,0 


Meio Amargo 

6,5 


Diet 

2,0 


Tabela 1 

Desta  forma,  teremos  um  produto  de  duas  matrizes  3x3,  e  portanto 

uma matriz resultante também 3x3. 

Outra  possibilidade  de  variação  do  problema  é  considerar  as  duas 

tabelas  abaixo,  para  que  os  alunos  façam  uma  análise  semelhante  à 

que foi feita no vídeo. 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  9/10 

Fruta 


Preço (R$) por 

Kg 


Calorias (Kcal) 

por 25g 


Vitamina C (mg) 

por 25g 


Banana 

2,50 


16 

2,0 


Laranja 

1,60 


11 

        13 

Maça 

3,00 


16 

1,5 


Mamão 

3,00 


17 

        12 

Tabela 2 

A  próxima  da  tabela  representa  a  quantidade  de  cada  fruta  em 

diferentes tipos de cestas. 

 

Banana (g) 



Laranja (g) 

Maça (g) 

Mamão (g) 

Cesta 1 


200 

100 


150 

100 


Cesta 2 

250 


50 

50 


200 

Cesta 3 


300 

150 


150 

Tabela 3: quantidade em gramas de cada fruta em cada cesta 



Neste caso, qual o preço de cada cesta, o valor calórico e a quantidade 

de vitamina C? 

Os  alunos  precisam  notar  que  no  primeiro  caso,  falamos  em 

quantidade  de  bombons  e  agora  a  informação  é  dada  pelo  peso,  e 

cada tabela tem sua escala. Um dos cuidados a se tomar é com o fato 

do preço ser dado por Kg e a quantidade de frutas por cesta ser dada 

em g. 

Outros  exemplos  envolvendo  multiplicação  de  matrizes  semelhantes 



ao  mostrado  no  vídeo  podem  ser  encontrado  no  texto  indicado  na 

bibliografia. 



 

VÍDEO 


Bombons a granel  10/10 

Sugestões de leitura 

Coleção Explorando a Matemática, Volume 3 – Matemática Ensino 

Médio, Capítulo 1, p. 46.  

(

disponível em 



http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat3_1_2.pdf

 ) 


 

Ficha técnica 

Autor do Guia  Rafael Santos de Oliveira Alves 

Revisão  Samuel Rocha de Oliveira 

Coordenação de Mídias Audiovisuais  Prof. Dr. Eduardo Paiva 

Coordenador acadêmico   Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 

Universidade Estadual de Campinas 

Reitor  Fernando Ferreira Costa 

Vice-reitor  Edgar Salvadori de Decca 

Pró-Reitor de Pós-Graduação  Euclides de Mesquita Neto 

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 

Diretor  Jayme Vaz Jr. 



Vice-diretor  Edmundo Capelas de Oliveira 

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