Aplicação de edo de 1ª Ordem Atividade Avaliativa



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Aplicação de EDO de 1ª Ordem

Atividade Avaliativa


Lei do Resfriamento de Newton

Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias

Discente:

Yasmin de Oliveira Laraia



Lei do Resfriamento de Newton

O café está a 90°C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85°C. A temperatura da cozinha é constante igual a 25°C. Para que possa beber o café é preciso que esteja a 60°C. Determine quanto tempo levará para que o café possa ser ingerido?



Lei do Resfriamento de Newton

A temperatura, depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.

 

A temperatura do ambiente, , permanece constante no decorrer da experiência.



 

1

A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente.



2

3

Um modelo real simples da troca de calor entre um corpo e o meio ambiente onde está situado admite três hipóteses básicas:



Lei do Resfriamento de Newton

A Lei de Resfriamento de Newton nos mostra que a taxa de variação da temperatura com relação ao tempo deve ser proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente .

 

Em termos matemáticos: 



 

E a constante �� pode depender do calor específico do objeto, o quanto da superfície está exposta a esse calor, ou qualquer outro fator.



Lei do Resfriamento de Newton

Se então há queda de temperatura, portanto decresce implicando em uma mudança negativa.

 

Para isso acontecer teríamos que ter um k negativo. Portanto podemos adicionar um sinal negativo no segundo membro da equação.



 

Agora faz sentido. Se , então é positivo, e a nossa taxa de variação será negativa, já que está esfriando. E de maneira análoga para quando a temperatura está se elevando.

 

Lei do Resfriamento de Newton

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem separável.

 

Vamos solucionar de modo generalizado.



 

Lembrando que a Temperatura ambiente, será uma constante, não irá variar com o tempo.

 

Lei do Resfriamento de Newton

Começaremos dividindo os dois membros da equação por :

 

 

Multiplicando a equação por :



 

 

 



 

 

 



Lei do Resfriamento de Newton

Agora podemos integrar ambos os membros.

 

Assim, teremos:



 

Aplicando potência encontraremos:

 

 

 



Lei do Resfriamento de Newton

Retornando ao exemplo, o café está mais quente que a temperatura ambiente, então, . Isso significa que seu valor absoluto será positivo, assim não precisamos do valor absoluto, pois .

 

Desse modo podemos adicionar nos dois lados,



t

 

Podemos escrever, então, como função do tempo



 

Lei do Resfriamento de Newton

Portanto se o café está a 90°C logo depois de ser coado, nosso , e após um minuto passa para 85°C, então , por fim a temperatura da cozinha é constante igual a 25°C, isso implica que .

 

E para que possa beber o café é preciso que esteja a 60°C, assim o tempo que levará para que o café possa ser ingerido pode ser encontrado a partir de:



 

Lei do Resfriamento de Newton

Substituindo e na equação :

 

 

Substituindo o valor e na equação :



 

 

Lei do Resfriamento de Newton

Usando a informação na equação :

 

 



- Simplificando por 5 e aplicando logaritimo:

 

 



Lei do Resfriamento de Newton

Por fim, substituindo o valor de na equação temos:

 

 

Logo, para



 

 

Lei do Resfriamento de Newton

Aplicando logaritmo:

 

aproximadamente 8 minutos



 

Lei do Resfriamento de Newton

O café está a 90°C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85°C. A temperatura da cozinha é constante igual a 25°C. Para que possa beber o café é preciso que esteja a 60°. Determine quanto tempo levará para que o café possa ser ingerido?



Aproximadamente 8 minutos

Referências

  • Acesso 13/07.
  • > Acesso 12/07.
  • > Acesso 12/07.
  • > Acesso 13/07

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