ANÁlise multidimensional da pobreza no nordeste brasileiro

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. Eles descrevem uma classe de índices bidimensionais para os quais as superfícies de dominâncias definidas em (6) são suficientes para se ordenar a pobreza:

(7)

A primeira linha de condições define o maior conjunto para o qual as pessoas pobres devem pertencer. A segunda linha assume que os índices de pobreza são contínuos ao longo da fronteira de pobreza. A terceira linha assume que os índices membros de

são fracamente decrescentes em

, ou seja, ela segue o axioma da monotonicidade. A última linha assume que a pobreza marginal se beneficia de um aumento em

diminui com o valor da outra variável, ou seja, um atributo de sensibilidade.

Considerando

, Duclos, Sahn e Younger (2006) definem o Teorema 1 de dominância de primeira ordem para a classe de índices

, segundo o qual a pobreza será maior em

para todos os índices de pobreza membros de

dado a respectiva restrição, ou seja,

(8)

Para que haja dominância de maior ordem deve-se aumentar a ordem em uma dimensão ou em ambas simultaneamente. Ambas as abordagens necessitam de mais suposições sobre os efeitos das mudanças em

, ou seja, suposições com relação ao sinal da derivada de (7). Podemos então ter por exemplo as seguintes classes de índices:

Batana e Duclos (2008) definem o seguinte índice

(9)

A primeira linha de restrições impõe complacência com as condições pertencentes à

. A segunda linha denota que a primeira derivada com respeito à

deve ser contínua ao longo da fronteira da pobreza. A terceira impõe o princípio de transferência de Pigou-Dalton, pelo qual o impacto na pobreza de aumentar

(que é negativo, dado pelas condições em

) deve diminuir com

, ou alternativamente à uma função equalizadora na dimensão de

deveria diminuir a pobreza. A última linha assume que o efeito equalizador de tal tipo de transferência deveria declinar com

, ou seja, quanto maior o valor de

, menor a importância da desigualdade na dimensão de

.

Analogamente teremos o Teorema 2 de

dominância da pobreza, pelo qual a pobreza será maior em

para todos os índices de pobreza membros de

dado a restrição, ou seja,

(10)

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