Expoente Igual a 1
Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número:
Expoente Igual a 0
Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
00 é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n positivo, temos que 0n = 0.
Mais à frente teremos outras informações que nos levarão a concluir que 00 = 0/0 e como não existe divisão por zero no conjunto dos números reais, trata-se então de uma indeterminação.
Ao estudarmos os expoentes negativos, a seguir, poderemos concluir que 0n é indefinido para qualquer n real negativo, por exemplo, 0-2 pode ser expresso como 1/02, o que nos leva à 1/0 e como sabemos, a divisão real de 1 por 0 é indefinida, pois não existe nenhum número real que multiplicado por 0 resulte em 1.
Expoente Negativo
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
Vejamos agora a explicação onde se baseiam estes três últimos conceitos explicados acima.
Propriedades das Potências de Base Real com Expoente Inteiro
Multiplicação de Potências de Mesma Base
A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes.
Vamos analisar o desenvolvimento da expressão a elevado à quinta potência vezes a elevado ao quadrado para confirmarmos esta afirmação:
Primeiramente vamos substituir as potências por suas respectivas multiplicações:
Repare que a expressão foi substituída pela multiplicação de 7 fatores iguais a a.
Pelo conceito da exponenciação podemos então escrever a seguinte potência:
De onde concluímos que:
Generalizando:
Divisão de Potências de Mesma Base
A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes.
Vamos utilizar as mesmas potências analisadas na propriedade anterior, mas agora fazendo a análise em relação à divisão:
Substituindo as potências por suas respectivas multiplicações:
Utilizamos uma fração ao invés do operador , apenas para visualizarmos mais facilmente o próximo passo, que será a simplificação de dois fatores do numerador com dois fatores do denominador:
Do estudado até agora sabemos que:
Então chegamos a conclusão de que:
Novamente generalizando temos:
Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto numérico.
Entendendo porque a0 = 1
Para a ≠ 0 sabemos que:
Então se tivermos m = n temos que:
Sabemos que:
Já todo número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é igual a 1 e que todo número menos ele mesmo é igual a zero.
Logo concluímos que:
É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1:
Entendendo porque a1 = a
Para a ≠ 0 sabemos que:
Logo se tivermos m = n + 1 temos que:
Como:
Então:
Logo:
Agora vamos transformar as potências do primeiro membro em multiplicações do fator a:
Repare que o numerador da fração no primeiro membro possui um fator a a mais que o denominador, pois o expoente da potência do numerador tem uma unidade a mais que o expoente da potência do denominador. Simplificando a fração temos:
Ou ainda:
Uma outra forma de entendermos porque a1 = a é que pela própria definição de potência, o expoente indica o número de fatores e como o expoente é igual a 1, obviamente este fator será o próprio número.
Compartilhe com seus amigos: |