Universidade estadual de campinas débora Aparecida de Passos ra116591



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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Débora Aparecida de Passos RA116591

José Felipe Blasco RA 091722

GRUPOS SIMÉTRICOS

CAMPINAS

2016

Sumário


Introdução 3

Grupos 3


Grupo de Permutações 3

Grupos Simétricos 3

Exemplo de Grupo Simétrico 4

Composição de Permutações 5

Teorema de Cayley 6

Referências Bibliográficas 7

















Introdução


A motivação para o estudo dos grupos simétricos vem do Teorema de Cayley, que garante que todo grupo finito é isomorfo a um subgrupo de um grupo simétrico. Nesse trabalho apresentamos o conceito de grupo e grupo simétrico. Demonstramos o teorema de Cayley. Apresentamos a notação para permutações, a definição de r-ciclo.

Grupos


Definição : Um conjunto não vazio, G, junto com uma operação

*: GxG→G


(a,b)→a*b

É um grupo se satisfaz:



(i) Associatividade: a*(b*c)=(a*b)*c , para todos os a,b,c em G

(ii) Existe elemento neutro: e em G, tq para todo a em G, e*a=a*e=a

(iii) Elemento inverso: para todo a em G, existe b em G, tq a*b=b*a=e

O grupo é dito abeliano se:



(iv) A operação é comutativa, isto é, a*b=b*a, para todo a,b em G

Grupos simétricos são casos particulares de grupos de permutações.


Grupo de Permutações


Definição: Uma permutação é uma bijeção de um conjunto A nele mesmo. Dado um conjunto A não vazio, S(A) é a denotação do conjunto de todas as permutações dos elementos de A. Uma operação * sobre esse conjunto é a composição de funções, como f: A→ A e g: A→ A são bijeções, então g○f : A→ A também é bijeção.

Mostraremos que (S(A),*) é de fato um grupo. É válida a associatividade e existe elemento neutro representado por iA : A→A. Representamos o grupo de permutações por (S(A), ○).

Este grupo somente é comutativo para sua ordem igual a 1 ou 2.

Grupos Simétricos


Quando S= {1, 2, ..., n} o grupo é denotado por Sn e toma a denominação de grupo simétrico de grau n e temos que o número de elementos de Sn é n!.

E como já foi visto acima, grupos Sn com n≥3 são não abelianos.

Abaixo mostrando a não comutatividade:

f : {1, 2, ..., n}→ {1, 2, ..., n}

f(1) = 2, f(2) = 1, f(x) = x  ∀x, 3≤ x ≤ n.

g: {1, 2, ..., n}→ {1, 2, ..., n}

g(1)= 2, g(2) = 3, g(3) =1, se n ≥ 4 g(x) = x ∀x, 4≤ x ≤ n

Então, como (g○f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3 e (f○g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 1

(g○f ) ≠ (f○g).

Denota-se um elemento f do grupo Sn como:

f = ( )

Exemplo de Grupo Simétrico


Considerando como exemplo o grupo S3 , temos que sua quantidade de elementos será 3! = 3.2.1 = 6 elementos. Estes elementos serão os conjuntos de permutações dos elementos {1, 2, 3}. E seja “e” o elemento neutro. Abaixo temos listados os elementos de S3:

f1 = e = ( )

f2 = f2-1 = ( )

f3 = f3-1 = ( )

f4 = f4-1 = ( )

f5 = f6-1 = ( )

f6 = f5-1 = ( )

É importante observar que a ordem das colunas não importa, mas é usual utilizar os elementos da primeira linha em ordem crescente. j1


Composição de Permutações


Para fazer a composição de duas permutações:

Seja g = ( ), f = ( )

Então g○f = ( ) ○ ( ) = ( )

Note no caso de S3 ao fazer todas as composições com seus elementos, podemos construir uma tabela de resultados, como a seguir. Lembrando que como o grupo não é abeliano, a tabela, também chamada de tábua, não é simétrica em relação a sua diagonal. A operação faz primeiro o elemento da linha composto com o da coluna. Ex: f2○f4 = f6.





f1

f2

f3

f4

f5

f6

f1

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f2

f2

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f6

f3

f4

f3

f3

f6

f1

f5

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f2

f4

f4

f5

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f1

f2

f3

f5

f5

f4

f2

f3

f6

f1

f6

f6

f5

f4

f2

f1

f5

Definição: Uma permutação, que troca apenas r elementos de lugar (a1,...,ar), e mantém todos os outros elementos inalterados é chamada de r-ciclo.

Homomorfismo

Definição: Sejam (G,*) e (H,*’) dois grupos, um homomorfismo é uma aplicação

f:G→H


g→f(g)

tal que f(x*y)=f(x)*’f(y)


Teorema de Cayley


G um grupo, G0 um conjunto como G mas sem a estrutura de grupo. Então

T:G→P(G0) ~ Sn

g→Tg:G0→G0

x→gx


É um homomorfismo injetivo.

Demonstração: Sejam g1, g2 dois elementos quaisquer de G; para todo elemento x de G0, temos

Tg1g2(x)=(g1g2 )x=g1(g2x)=Tg1(Tg2(x))=Tg1°Tg2(x);

Logo Tg1g2= Tg1°Tg2



Portanto T é um homomorfismo entre o grupo G e o grupo P(G0). Agora, T é injetivo pois se g pertence ao núcleo de t, temos idG0=Tg, isto é x=Tg(x)=gx, para todo x em G, logo g=e.

Referências Bibliográficas


  1. GONÇALVES, Adilson, Introdução à álgebra, IMPA, 2008.

  2. DOMINGUES, Hygino H, Álgebra moderna, atual editora, 2003.

  3. GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves, Impa, 6° Ed, 2015.


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