Topologia algébrica pré-requisito: Topologia, Cálculo Avançado Nº de horas/aula semanais: 06 ementa



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TOPOLOGIA ALGÉBRICA

PRÉ-REQUISITO: Topologia, Cálculo Avançado

Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA: Elementos de Álgebra homológica e complexos, morfismo de bordo, Homotopia, Homologia, Cohomologia, complexos CW, Excisão, Espaços de recobrimento, dualidade de Poincaré, Aplicações.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1- Propiciar ao estudante uma introdução às técnicas básicas da Topologia Algébrica.

2- Permitir que o estudante aprecie a relação, mediante exemplos, entre aspectos algébricos e invariantes topológicos.

3- Propiciar ao estudante uma base mínima para entender resultados modernos de Topologia e Geometria.


PROGRAMA:
0- Elementos de Álgebra Homológica[5,6,7]

0.1 – Sequências exatas de grupos e Módulos.

0.2 - Complexos de cocadeias e complexos diferenciais.

0.3 - Morfismos de complexos diferenciáveis.

0.4 - Sequências exatas de complexos diferenciáveis

0.5 - Lema da serpente.


1- Homologia [1-6]

1.1 – Complexos simpliciais e homologia singular

1.2 – Homologia relativa e Excisão.

1.4 – Aplicações: – Sequência de Mayer-Vietors,

– Homologia com coeficientes em um grupo abeliano.

1.5 – Complexos CW.

1.6 – Formalização e Axiomas da Homologia.
2- Homotopia [1 – 6]

2.1 – Homotopia de complexos.

2.2 – Invariânça homotópica.

2.3 – Teorema de Van Kampen


3- Cohomologia [1,2,3,5,6]

3.1 – Cocadeias e operador de cobordo

3.2 – Grupos de cohomologia e teorema dos coeficientes universais

3.3 – O anel de cohomologia e formula de Künneth

3.4 – Cohomologia de de Rham
4- Cálculo de homologia e cohomologia [1,2,6]

4.1 – Exemplos de homologia e cohomologia de variedades.

4.2 – Dualidade de Poincaré

4.3 – Teorema de Hopf e aplicações em Sn.


BIBLIOGRAFIA:
[1] HATCHER, A. – Algebraic Topology – Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp.

[2] BREDON, GLEN E. – Topology and Geometry - GTM 139, 1st ed., Springer-Verlag,1993.



[3] FULTON, W. – Algebraic Topology: A first course – GTM 153, Springer, 1995.
[4] NOVIKOV, P. – Algebraic Topology I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 12. Springer 1996.[5] BRUZZO, U. – Introduction to Algebraic Topology and Algebraic Geometry. – http://people.sissa.it/~bruzzo/notes/IATG/notes.pdf.[6] MAY, J. P. – A concise Course in Algebraic Topology – http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf

[7] HILTON, P., STAMMBACH, U. – A course in Homological Algebra – GTM 4, Second Edition, Springer-Verlag, New York- Berlin, (1977).


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