Taxas relacionadas



Baixar 77,37 Kb.
Pdf preview
Encontro07.10.2019
Tamanho77,37 Kb.

LISTA DE EXERC´ICIOS

TAXAS RELACIONADAS

1. Duas vari´

aveis x e y s˜

ao fun¸c˜

oes de uma vari´

avel t e est˜

ao relacionadas pela

equa¸c˜

ao:


y

2

− 3xy + x



2

= 25


Se a taxa de varia¸c˜

ao de x em rela¸c˜

ao a t ´

e igual a 1 quando x = 0 ent˜

ao

determine qual a taxa de varia¸c˜



ao de y em rela¸c˜

ao a t neste mesmo instante.

RESPOSTA:y

0

=



3

2

2. Uma escada de 6m de comprimento est´



a apoiada em uma parede vertical. Se

a base da escada come¸ca a escorregar horizontalmente `

a taxa constante de

0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele

est´

a a 4m do solo. RESPOSTA:−



3

5



10

m/s .


3. `

As 8h o navio A est´

a a 25km ao sul do navio B. Se o navio A est´

a navegando

para o oeste `

a 16km/h e o navio B est´

a navegando para o sul a 20km/h ent˜

ao

determine a raz˜



ao em que a distˆ

ancia entre os navios est´

a variando `

as 8h30min.

RESPOSTA:−

172


17

Km/h


4. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura

e raio da base 2m. Se a ´

agua entra no tanque `

a raz˜


ao de 0, 001m

3

/min,



calcule a raz˜

ao em que o n´ıvel de ´

agua est´

a subindo quando a altura ´

e 1m.

RESPOSTA:



4

1000π


m/min.

5. Um farol girat´

orio completa uma volta a cada 15 segundos. O farol est´

a a 60m


de P , o ponto mais pr´

oximo em uma praia ret´ılinea. Determine a raz˜

ao em

que um raio de luz do farol est´



a se movendo ao longo da praia em um ponto,

Q, a 150m de P. RESPOSTA:3480π m/min.

6. Um painel solar de 3m de comprimento equipado com um ajustador hidr´

aulico


´

e colocado de forma inclinada sobre um edif´ıcio. `

A medida que o sol se move

o painel ´

e ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre

incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a capta¸c˜

ao de

energia. a) determine a rela¸c˜



ao entre a taxa dy/dt `

a qual o painel deve ser

movido e a taxa dθ/dt `

a qual o ˆ

angulo de inclina¸c˜

ao dos raios aumenta. b) Se

, quando θ = 30

, dθ/dt = 15graus/h determine dy/dt RESPOSTA:a)



dy

dt

=



−3 sen (θ)

dt



e b)

dy

dt



= −

π

8



m/h

7. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diˆ

ametro varia `

a raz˜


ao de

0, 01cm/min. Determine a taxa `

a qual a ´

area de uma das faces varia quando

o diˆ

ametro ´


e 30cm. RESPOSTA:0, 15πcm

2

/min.



8. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo , com raio decrescendo `

a

raz˜



ao constante, passando de 30cm para 20cm em 45 minutos. Qual a varia¸c˜

ao

do volume quando o raio est´



a com 25cm. RESPOSTA:−

5000π


9

cm

3



/min..

9. Uma luz est´

a no alto de um poste de 5m. Um menino de 1, 6m se afasta do

poste em linha reta `

a raz˜


ao de 1, 2m/s. A que taxa se move a ponta de sua

sombra quando ele est´

a a 6m do poste? A que taxa aumenta o comprimento

de sua sombra? RESPOSTA:a) 1, 764m/s b) 0, 564m/s

10. A areia que vaza de um dep´

osito forma uma pilha cˆ

onica cuja altura ´

e sempre


igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta `

a raz˜


ao de 15cm/min

determine a taxa `

a qual a areia est´

a se escoando quando a altura da pilha ´

e

25cm. RESPOSTA:9375π cm



3

/min


11. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda

´

e liberada `



a raz˜

ao de 0, 6m/s na medida em que o papagaio se move horizon-

talmente a uma altura de 33, 5m. Supondo que a corda fique sempre tensa,

determine a taxa `

a qual o papagaio est´

a se movendo no instante em que foram

liberados 38m de corda. RESPOSTA:1,112 m/s

12. Um bal˜

ao de ar quente sobe verticalmente `

a medida que uma corda, amarrada

`

a sua base , ´



e liberada `

a raz˜


ao de 1m/min. O carretel que libera a corda est´

a

a 6, 5m da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o bal˜



ao est´

a

subindo quando tiverem sido liberados 150m de corda? RESPOSTA:



dh

dt

≈ 1



13. Da beira de um rochedo 60m acima de um lago um menino deixa cair um pedra

e, depois de 2s deixa cair outra pedra da mesma posi¸c˜

ao. Discuta a taxa na

qual a distˆ

ancia entre as pedras varia durante o pr´

oximo segundo (Admita que

a distˆ

ancia percorrida em t segundos por um objeto em queda livre ´



e 4, 9t

2

m).



RESPOSTA:19,6 m/s

14. Um m´ıssel ´

e lan¸cado verticalmente para cima de um ponto que est´

a a 8km de

uma esta¸c˜

ao de rastreamento, e `

a mesma altura desta. Durante os primeiros

20 segundo de vˆ

oo, seu ˆ

angulo de eleva¸c˜

ao θ varia `

a raz˜


ao constante de 2 graus

por segundo. Determine a velocidade do m´ıssel quando o ˆ

angulo de eleva¸c˜

ao

for 30 graus. RESPOSTA:



32π

270


Km/s

15. Um avi˜

ao est´

a a uma velocidade constante de 580Km/h e subindo a um ˆ



angulo

de 45 graus . No momento em que ele est´

a a uma altura de 3, 2km, passa

diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de varia¸c˜

ao da

distˆ


ancia do avi˜

ao `


a torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre).

RESPOSTA:569,65 Km/h

16. Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4 m/s. Um

holofote localizado a 20 metros de distˆ

ancia da muralha, e mesma altura que

esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote est´

a girando quando o

gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que est´

a mais pr´

oximo


do holofote? RESPOSTA:

16

125



rad/s

DICAS DE RESOLUC

¸ ˜


AO

1. y = y(t) e x = x(t) deixe

0

representar a derivada destas fun¸c˜



oes em rela¸c˜

ao a


vari´

avel independente t. Derive ambos os lado da express˜

ao inicial em rela¸c˜

ao

a vari´



avel t. Vocˆ

e obter´


a uma nova rela¸c˜

ao envolvendo: x, y, x

0

, y


0

. y


0

(t) para


o valor de t que fornece x(t) = 0 ´

e a quantidade procurada. Para este mesmo

valor de t tem-se x

0

(t) = 1. O valor de y quando x = 0 pode ser facilmente



encontrada da rela¸c˜

ao inicial e vale: y = ±5 O valor exato de y n˜

ao importar´

a

aqui, somente o fato de que y 6= 0 ser´



a importante. Agora ´

e s´


o substituir estes

valores na express˜

ao obtida ap´

os a deriva¸c˜

ao, encontrando y(2y

0

− 3) = 0 e



consequentemente y

0

=



3

2

, visto que y 6= 0.



2. Totalmente an´

alogo ao exemplo feito em classe.

3. Totalmente an´

alogo ao exemplo feito em classe.

4. Totalmente an´

alogo ao exemplo feito em classe.

5. Como uma volta completa corresponde a 2π rad, segue segue

dt



=

15



rad/s.

Da geometria do problema obt´

em-se a rela¸c˜

ao x(t) = 60 tg θ. Onde x(t) rep-

resenta a distˆ

ancia ao ponto P, na praia, imediatamente em frente ao farol.

Assim, quando x = 150 temos que a distˆ

ancia do farol at´

e o ponto Q vale, por

pit´


agoras

150



2

+ 60


2

logo sec


2

(θ) =


150

2

+60



2

60

2



. Derivando-se a rela¸c˜

ao obtida

entre x e θ obt´

em-se


dx

dt

= 60 sec



2

(θ)


dt

e substituindo-se os valores acima en-



contrados obt´

em-se


dx

dt

= 58π m/s = 3480π m/min.



6. a) Chamando de φ o ˆ

angulo que o painel faz com a horizontal temos que

sen (φ) =

y

3



e ainda φ =

π

2



−θ, onde θ ´e o ˆ

angulo que os raios solares fazem com

o plano sobre o qual se ap´

oia o painel. b) Derivando-se a rela¸c˜

ao encontrada

para y obt´

em-se

dy

dt



= 3 cos(

π

2



− θ)(−

dt



) = −3 sen (θ)

dt



. Substituindo-se os

valores dados, ap´

os transform´

a-los em radianos,obtemos:

dy

dt

= −



π

8

7. Escreva a rela¸c˜



ao entre a ´

area de um c´ırculo e seu diˆ

ametro. Como a ´

area e


o diˆ

ametro s˜

ao fun¸c˜

oes do tempo, derive a express˜

ao encontrada em rela¸c˜

ao a


t. Esta nova express˜

ao relaciona as taxas A

0

e d


0

e envolvem tamb´

em d. Sub-

stituindo os valores de d = 30 e d

0

= 0, 01 cm/min fornecidos pelo problema



obt´

em-se A


0

= 0, 15π cm

2

/min.


8. Escreva a rela¸c˜

ao entre o volume da esfera e seu raio. Como o volume e o raio

ao fun¸c˜



oes do tempo, derive a express˜

ao encontrada em rela¸c˜

ao a t. Esta nova

express˜


ao relaciona as taxas V

0

e r



0

e envolve tamb´

em r. O valor de r

0

= −



10

45

pode ser obtido da informa¸c˜



ao que diz que tal taxa de varia¸c˜

ao ´


e constante e

igual a


10

45

cm/min. Note que o sinal de menos -”vem do fato de que o raio est´



a

decrescendo com o tempo. Substituindo ent˜

ao os valores de r e r

0

fornecidos



pelo problema obt´

em-se o valor procurado para V

0

.

9. a) Chame de x(t) a posi¸c˜



ao do garoto e s(t) o comprimento de sua sombra.

Isto nos leva diretamente a

dx

dt

= 1, 2 m/s e, por semelhan¸ca de triˆ



angulos

obtemos a rela¸c˜

ao 0, 32 =

1,6


5

=

s



x+s

. Derivando-se tal express˜

ao em rela¸c˜

ao a


t obtemos:

ds

dt



= (

1,6


3,4

)(1, 2) = 0, 564 m/s. b) Se chamarmos de y(t) a posi¸c˜

ao

da ponta da sombra do menino ent˜



ao y(t) = x(t) + s(t) o que nos leva a

y

0



(t) = x

0

(t) + s



0

(t) e portanto, segue do ´ıtem a) que y

0

(t) = 1, 764 m/s.



10. Da express˜

ao para o volume do cone circular reto obtemos que V =

π

3

h



3

.

Derivando-se em rela¸c˜



ao a t obt´

em-se uma rela¸c˜

ao entre as taxas destas fun¸c˜

oes.


A substitui¸c˜

ao direta dos valores de h e h

0

fornecidos pelo problema nos leva



direto ao resultado de 9375π cm

2

/min.



11. Descontando-se a altura de onde a linha ´

e solta at´

e o ch˜

ao , obtemos,por



pit´

agoras a express˜

ao: l

2

= 32



2

+ x


2

onde l representa o comprimento da linha

e x a distˆ

ancia do garoto que solta a pipa at´

e o ponto no solo exatamente sob

a pipa. Derivando-se tal express˜

ao obtemos uma rela¸c˜

ao entre as respectivas

taxas e que ainda inclui x e l. Dos dados do problema segue que devemos

agora tomar l = 38 e x =

420 = 20, 49 ( tal valor de x foi novamente



obtido fazendo-se uso do teorema de Pit´

agoras. Assim obtemos x

0

=

57



10

105



1, 112 m/s.

12. Novamente fazemos uso do teorema de Pit´

agoras obtendo a rela¸c˜

ao: h

2

+



(6, 5)

2

= l



2

onde l ´


e o comprimento da corda e h a altura do bal˜

ao. O valor

de h = 149, 86 quando l = 150 tamb´

em ´


e obtido por Pit´

agoras.


Assim,

deerivando-se a rela¸c˜

ao acima e substituindo o s valores de l, l

0

e h, obtemos



h

0

≈ 1.



13. Se d

i

(t) representa a distˆ



ancia percorrida pela i-´

esima pedra ent˜

ao temos

d

1



(t) = 4, 9t

2

e d



1

(t) = 4, 9(t − 2)

2

, ∀t ≥ 0. Assim, a distˆ



ancia entre as

pedras ´


e dada por d(t) = d

1

(t) − d



2

(t) = (19, 6)t − 19, 6. De onde se obtem

diretamente que d

0

(t) = 19, 6.



14. Da geometria do problema obtemos a rela¸c˜

ao h(t) = 8 tg (θ), ondee h repre-

senta a altura do m´ıssel. Derivando-se tal express˜

ao e usando os valores dados

no problema obtemos h

0

=



32π

270


Km/s. Lembre-se de transformar o valor dos

ˆ

angulos para radianos:



dt

= 2 graus/rad =



π

90

rad/s.



15. Este ´

e complicado. Valendo-se da lei dos cossenos obtemos a seguinte ex-

press˜

ao: d


2

(t) = (3, 2)

2

+ l


2

(t) − 2(3, 2)l(t)

2

2



onde d representa a distˆ

ancia do


avi˜

ao `


a torre de controle no instante t e l(t) a distˆ

ancia percorrida pelo avi˜

ao

em linha reta formando um ˆ



angulo de eleva¸c˜

ao de 45


o

(isto de cara nos fornece

que l

0

(t) = 580). Derivando-se esta express˜



ao obt´

em-se: d


0

=

1



d

0

(l



0

−(1, 6)


2)l


0

onde d


0

e l


0

representam os valores de d e l respectivamente para t igual a 1

min. ap´

os o avi˜

ao ter passado sobre a torre de controle. Tais valores s˜

ao obti-


dos fazendo-se uso da lei dos cossenos novamente. Obs: Neste problema, os

arredondamentos de contas s˜

ao tantos que talvez vocˆ

e n˜


ao chegue examente

ao valor fornecido como resposta. Qualquer valor pr´

oximo de 570 ser´

a uma


boa aproxima¸c˜

ao.


16. ´

E a mesma quest˜



ao feita em sala; Exemplo 5 pag. 256


Compartilhe com seus amigos:


©bemvin.org 2019
enviar mensagem

    Página principal