Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem



Baixar 181,94 Kb.
Pdf preview
Encontro08.10.2019
Tamanho181,94 Kb.

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Aula 7

Cristiano Quevedo Andrea



1

1

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná



DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resumo

1

Introdução



2

Sistemas de Primeira Ordem

3

Sistema de Segunda Ordem



4

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Uma vez determinado o modelo matemático via função de

transferência, podemos então analisar o desempenho do sistema a

partir de sua resposta.

Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções:

degrau, rampa, senoide.

Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é

constituída por duas partes: resposta transitória e resposta

estacionária.

Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial

ao estado final.

Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de

saída do sistema à medida que



t

tende ao infinito.

Assim, a resposta

c(t)

do sistema pode ser descrita como:



c(t) = c

tr

(

t) + c



ss

(

t),

sendo

=

c



tr

(

t)

a resposta transitória e

c

ss

(

t)

a resposta estacionária.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a

estabilidade é o objetivo principal. Caso, o projeto não consiga obter a

estabilidade absoluta, o sistema será instável.

O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta

em regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada.

Será analisado a resposta de sistemas de primeira, segunda ordem e

ordem superior.

0

0.5



1

1.5


0

0.2


0.4

0.6


0.8

1

Step Response



Time (sec)

Amplitude

0

2

4



6

8

10



12

0

0.5



1

1.5


2

2.5


3

Step Response

Time (sec)

Amplitude

SISTEMA DE PRIMEIRA

ORDEM


SISTEMA DE SEGUNDA

ORDEM


Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Considere o circuito ilustrado a seguir:

Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima

representa um circuito

RC

, um sistema térmico, ou algo

semelhante.

A relação entrada e saída pode ser descrita como:



C(s)

R(s)

=

1



Ts +

1

.



(1)

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero



I- Resposta ao Degrau Unitário

Considerando-se



R(s)

uma entrada degrau, de (1) temos,



C(s) =

1

s

×

1

Ts +



1

.

(2)



Expandindo (2) em frações parciais, temos:

C(s) =

1

s



T

Ts +

1

,



=

1

s

1

+



1

T

.

(3)



Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (3)

obtém-se:



c(t) =

1



e

t



T

.

(4)



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Analisando-se (4) podemos observar que em

=

0,

c(

0

) =


0. Por outro lado para

→ ∞

,

c(t) =

1.

Em

T



, temos:

c(t) =

1



e

1



=

0

,



632

.

Note que quanto menor a constante de tempo



T

, mais


rapidamente o sistema responde.

A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da

linha tangente em

=

0 de 1


/

T

, pois,




c(t)



t



t=

0

=



1

T

e



t



T

0

=



1

T

.

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta de um Sistema de Primeira Ordem

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Considerando a função de transferência abaixo:

C(s)

R(s)

=

1



+

1

,



(5)

temos o seguinte mapeamento de pólos e zeros,

Pole−Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

−2

−1.8



−1.6

−1.4


−1.2

−1

−0.8



−0.6

−0.4


−0.2

0

−1



−0.8

−0.6


−0.4

−0.2


0

0.2


0.4

0.6


0.8

1

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Da função de transferência do sistema de primeira ordem

podemos tirar outras conclusões, então, considere novamente

a função de transferência de um sistema de primeira ordem,

G(s) =

K

+

1

T

.

(6)


O inverso da constante de tempo é homogêneo a

1

/



segundos

, ou seja, a frequência. A função de

transferência do sistema de primeira ordem também pode

ser escrito como,



G(s) =

K

a

.

(7)



Assim, podemos chamar o parâmetro

a

de frequência

exponencial.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos pólos.

Como o pólo da função de transferência é



a

, podemos dizer que o

pólo fica localizado no inverso da constante de tempo.

Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será a

resposta transitória.

Tempo de Subida,

T

s

O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a

forma de onda vá de 0

,

1 até 0



,

9 do seu valor final.



T

s

=

2



,

31

a

0

,



11

a

=

2



,

2

a

.

Tempo de Estabelecimento,

T

e

O tempo de estabelecimento é definido como o tempo necessário para

que a resposta alcance uma faixa de valores de 2

%

em torno do valor



final e aí permanece.

T

e

=

4



a

.

(8)



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero



Determinação Experimental de Funções de Transferência de Primeira

Ordem

Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a

função de transferência de um sistema.

Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são

identificáveis facilmente.

Podemos determinar a função de transferência destes sistemas por

meio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade de

conhecer a construção interna da planta.

Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem

podemos determinar a constante de tempo e o valor de estado

estacionário.

Assim, considere



G(s) =

K

s+a

. Aplicando-se um degrau tem-se,



C(s) =

/

s



K

a

=

1



s



/a



a

.

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

1


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

A partir da reposta medimos a constante de tempo, isto é,

o tempo para que a resposta alcance 63

%

do valor da



resposta em regime permanente.

Então fazemos:



Amp

63

,



2

%

=



0

,

632Valor Regime



.

sendo


Amp

63

,



2

%

o valor da amplitude do valor de resposta



63

,

2



%

do valor de regime. Então, deve-se verificar o

tempo em que a saída atinge este valor, e após

identificado, este valor será a constante de tempo



T

.

Em regime, temos que o valor é



/a

, como


=

1

/



T

,

podemos obter o valor de K.



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta a Entrada Rampa para Sistemas de Primeira Ordem

A transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada da

seguinte forma:

R(s) =

1

s

2

.

(9)



Então a saída de um sistema de primeira ordem é:

C(s) =

1

s

2

×

1



Ts +

1

.



(10)

Expandindo



C(s)

temos:


C(s) =

1

s

2



T



s

+

T

2

Ts +

1

.



(11)

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (11) temos,

c(t) = − te



t



T

.

(12)



Então, o sinal de erro é:

e(t) = r(t) − c(t),

=

(

1



e





t

T

).

(13)



Para

→ ∞

, a equação (13) tente a



T

. A figura seguinte ilustra a resposta

de um sistema de primeira ordem a uma entrada rampa.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta de Sistemas de Primeira Ordem a uma Entrada Impulso Unitária

Para uma entrada impulso unitária

δ(

s) =

1 a um sistema de primeira ordem,

a resposta obtida é:

C(s) =

1

Ts +

1

.

(14)



Aplicando a transformada inversa de Laplace em (14) tem-se:

c(t) =

1

T



e



t



T

.

(15)



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda

ordem descrito a seguir:

Neste caso a função de transferência de malha fechada é dada

por:


(s) =

G(s)

1

+



G(s)

=

K



s

2

+



ps K

R(s).

A forma generalizada para a resposta de um sistema de

segunda ordem é:

(s)

R(s)

=

ω

2

n

s

2

+



2

ζω

n



+ ω

2

n

.

(16)


Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero



(s)

R(s)

=

ω

2

n

s

2

+



2

ζω

n



+ ω

2

n

.

(17)


1

ω

n

: frequência natural de oscilação

2

ζ



: coeficiente de amortecimento

3

Pólos:



s

12

= −ζω



n

±

jω



n

p

1



− ζ

2

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Exemplo: Encontre o valor do coeficiente de amortecimento e

da frequência natural da seguinte função de transferência



(s)

F(s)

=

25



s

2

+



10

+

25

.



(18)

então temos,

ω

2

n



=

25

⇒ ω



n

=

5



,

2

ζω



n

=

2



ζ

5

=



10

⇒ ζ =


1

.

(19)



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta Naturais de Sistemas de Segunda Ordem

Respostas Superamortecidas

Pólos: 2 pólos reais em

−σ

1



e

−σ

2



.

Resposta Natural: duas exponenciais com constante de

tempo igual a localização dos pólos

c(t) = K

1

e

σ

1



t

+

K

2

e

σ



2

t

.

(20)



Respostas Subamortecidas

Pólos: 2 pólos complexos em

−σ

d

±

jω



d

.

Resposta Natural: resposta com senoides amortecidas



envolvida por uma exponencial cuja constante de tempo é

igual à parte real do pólo. A frequência da senoide é igual a

parte imaginária da parte complexa

c(t) = Ae

σ



d

t

cos

d

− φ).

(21)


Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Respostas Oscilatórias

Pólos: 2 pólos imaginários em

±

jω

d

.

Resposta Natural: resposta com senoide não amortecidas



com frequência em radianos igual a parte imaginária do

pólo


c(t) = Asen

d

− φ).


(22)

Respostas Criticamente Amortecidas

Pólos: 2 pólos reais em

−σ

d

.

Resposta Natural: resposta com uma exponencial com



constante de tempo igual a parte real do pólo e uma

exponencial multiplicada por



t

com constante de tempo

igual a parte real do pólo

c(t) = K

1

e

σ

d



t

+

K

2

te

σ



d

t

.

(23)



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta do Sistema de Segunda Ordem em Função do

Coeficiente de Amortecimento

ζ

ζ >


1: Sistema Superamortecido

−8

−7



−6

−5

−4



−3

−2

−1



0

−1

−0.8



−0.6

−0.4


−0.2

0

0.2



0.4

0.6


0.8

1

Pole−Zero Map



Real Axis

Imaginary Axis

0

0.5


1

1.5


2

2.5


0

0.5


1

1.5


Step Response

Time (sec)

Amplitude

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

ζ =

1: Sistema Criticamente Amortecido



Pole−Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

0

5



10

15

0



0.5

1

1.5



Step Response

Time (sec)

Amplitude

−2

−1.8



−1.6

−1.4


−1.2

−1

−0.8



−0.6

−0.4


−0.2

0

−1



−0.8

−0.6


−0.4

−0.2


0

0.2


0.4

0.6


0.8

1

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

0

< ζ <

1: Sistema Subamortecido

Pole−Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

0

0.5



1

1.5


2

2.5


3

0

0.5



1

1.5


Step Response

Time (sec)

Amplitude

−3

−2.5



−2

−1.5


−1

−0.5


0

−3

−2



−1

0

1



2

3

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

ζ =

0: Sistema Não Amortecido



Pole−Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

0

5



10

15

0



0.2

0.4


0.6

0.8


1

1.2


1.4

1.6


1.8

2

Step Response



Time (sec)

Amplitude

−1

−0.8


−0.6

−0.4


−0.2

0

0.2



0.4

0.6


0.8

1

−2



−1.5

−1

−0.5



0

0.5


1

1.5


2

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Análise de Desempenho

Iremos abordar a análise de desempenho em sistema

subamortecido, isto é, 0

< ζ <

1.

Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema de



segunda ordem típico temos:

(s) =

ω

2



n

s(s

2

+



2

ζω

n



+ ω

2

n

)

.

(24)



Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (24),

obtemos:


y(t) =

1



1

β

e

−ζ ω

n

t

sen

n

β

+ θ).

(25)

sendo


β =

p

1



− ζ

2

e 0



< ζ <

1.

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um

Degrau Unitário

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Aplicando-se um impulso

δ(

s) =

1 em um sistema de segunda

ordem típico temos,



(s) =

1

×



ω

2

n



s

2

+



2

ζω

n



+ ω

2

n

.

(26)


Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (26)

obtém-se:



y(t) =

ω

n

β

e

−ζ ω


n

t

sen

n

β

t).

(27)

o que simplesmente a derivada da resposta de um sistema de



segunda ordem a entrada degrau.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um

Impulso Unitário

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Índices de Desempenho

Tempo de Pico

(

T

p

)

: é o tempo onde a resposta atinge o



máximo valor. O tempo de pico,

T

p

pode ser obtido por:



T

p

=

π



ω

n

p

1



− ζ

2

,



(28)

e a magnitude da resposta em



T

p

é dada por:



y(t) =

1

+



e

ζπ



1

−ζ



2

.

(29)



Tempo de Subida

(

T



s

)

: é o tempo que a resposta leva para



ir de 10

%

a 90



%

do valor de regime da resposta.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Porcentagem de Overshoot

(

P.O.)

: a ultrapassagem

percentual,



P.

0

.



, é dada pela seguinte expressão,

P.O. =

100


e

ζπ



1

−ζ



2

%,

(30)



ou,

P.O. =

100


×



Mp − Fv



Fv



%,



(31)

sendo


MP =

valor máximo da resposta,



Fv =

valor de regime permanente.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Tempo de Estabelecimento

(

T



e

)

: é o tempo que a resposta



leva para atingir o regime. Considera-se regime quando a

resposta atingir uma faixa em torno do valor de regime.

Nos cálculos consideraremos que regime será quando a

amplitude da resposta estiver a

±

2

%



do valor de regime.

Neste caso,



T

e

=



4

ζω

n

.

(32)


A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores:

1

Rapidez da resposta, a qual pode ser projetada pela



escolha adequada do tempo de pico e o tempo de subida.

2

Proximidade da resposta com a resposta desejada, a qual



pode ser atingida projetando-se um sistema de controle

com uma porcentagem de overshoot e tempo de

estabelecimento adequado.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resumo

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Porcentagem de Overshoot versus Coeficiente de

Amortecimento

0

0.1


0.2

0.3


0.4

0.5


0.6

0.7


0.8

0.9


1

0

10



20

30

40



50

60

70



80

90

100



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Exemplo1: Desenhe a região do plano complexo com:

P.O. <

20

%,



Te <

4

seg.

(33)

Exemplo 2: Considere o sistema de controle abaixo:



Encontre: Tempo de subida, tempo de pico, valor de pico,

tempo de estabelecimento, porcentagem de overshoot.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de

Segunda Ordem

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de

Segunda Ordem

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de

Segunda Ordem

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Considere o sistema de terceira ordem descrito a seguir:

(s) =

1

(



s

2

+



2

ζ

+

1

)(γ


+

1

)



,

(34)


sendo

ω

n

=

1.

Foi constatado que o tempo de estabelecimento



(

T

s

)

e a



porcentagem de overshoot

(

P.O.)

do sistema descrito em (34)

pode ser aproximado para índices de um sistema de segunda

ordem se,

|

1



/γ| ≥

10

|ζω



n

|.

(35)



Em outras palavras a resposta de um sistema de terceira

ordem pode ser aproximada pelas raízes dominantes do

sistema de segunda ordem quando a parte real das raízes

dominantes for inferior a 1

/

10 da parte real da terceira raiz.



Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Consideração

A idéia de pólo dominante deve ser utilizada quando a função

de transferência não possuir zeros próximos aos pólos

dominantes.

Em situações no qual a função de transferência possuir

zeros próximos ao pólos dominantes, a resposta será

afetada significativamente.

A resposta a um degrau de um sistema com um zero e

dois zeros é afetada pela localização do zero.

A porcentagem de overshoot para uma entrada degrau,

em função de

a/ζω

n

, sendo


a

a posição do zero, é

ilustrada a seguir.

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle


Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero



a/ζω

n

em Função da Porcentagem de Overshoot

Cristiano, Curitiba

Sistema de Controle



Introdução

Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3



o

Pólos e um Zero

Resposta ao Degrau Unitário Variando-se a Relação

a/ζω

n

Cristiano, Curitiba



Sistema de Controle

Document Outline

  • Introdução
  • Sistemas de Primeira Ordem
  • Sistema de Segunda Ordem
  • Efeito de um 3o Pólos e um Zero


Compartilhe com seus amigos:


©bemvin.org 2019
enviar mensagem

    Página principal