"principal" 2010/4/19 page 1



Baixar 2.34 Mb.
Pdf preview
Página1/7
Encontro27.11.2019
Tamanho2.34 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7

“principal”
2010/4/19
page 1
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Iniciação à Aritmética
Abramo Hefez

“principal”
2010/4/19
page 3
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Sobre o Autor
Abramo Hefez nasceu no Egito, mas é brasileiro por opção e ca-
rioca de coração. Cursou o ginasial científico no Rio de Janeiro,
graduou-se na PUC-Rio em Matemática e prosseguiu seus estudos
na Universidade de Pisa, Itália e nos Estados Unidos, doutorando-se,
em Geometria Algébrica no Massachusetts Institute of Technology. É
Professor Titular no Instituto de Matemática da Universidade Federal
Fluminense, onde exerce docência na graduação e na pós-graduação
e desenvolve atividade de pesquisa.

“principal”
2010/4/19
page 4
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i

“principal”
2010/4/19
page ii
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
da análise de um número finito de casos). Essas deduções podem se
transformar em verdadeiras demonstrações utilizando-se o Princípio
de Indução Matemática, que é assunto de um outro texto do autor,
publicado nesta coleção e destinado aos alunos do nível III.
Este texto não existiria não fosse o desafio lançado por Suely
Druck, Diretora Acadêmica da OBMEP, a quem agradeço calorosa-
mente pela preciosa oportunidade de me dirigir aqui a vocês.
Agradeço também ao colega Dinamérico Pombo por sua leitura cuida-
dosa do manuscrito original.
Finalmente, espero que você aprecie o material aqui apresentado
e que faça de seu estudo uma atividade prazerosa. Bom divertimento!
Niterói, março de 2009.
O Autor

“principal”
2010/4/19
page iii
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Sumário
1 Os Números Naturais
1
1.1 Os Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5 Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.7 Múltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.8 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Representação dos Naturais
23
2.1 O Sistema Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2 Critérios de Multiplicidade de 2, 5 e 10 . . . . . . . . .
26
2.3 Critérios de Multiplicidade de 9 e de 3 . . . . . . . . .
29
2.4 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
iii

“principal”
2010/4/19
page iv
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
iv
2.5 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.6 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . .
38
3 Os Inteiros e suas Propriedades
42
3.1 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2 Múltiplos Inteiros de um Número . . . . . . . . . . . .
45
3.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4 Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.5 Par ou Ímpar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.6 Zero, Um ou Dois? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.7 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.8 Algoritmo do mdc de Euclides . . . . . . . . . . . . . .
66
3.9 Aplicações da Relação de Bézout . . . . . . . . . . . .
70
3.10 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . .
75
4 A Aritmética dos Restos
81
4.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.2 Critérios de Multiplicidade e Restos . . . . . . . . . .
84
4.3 Congruências e Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.4 Congruências e Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.5 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6 Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5 Problemas Suplementares
99

“principal”
2010/4/19
page 1
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Capítulo 1
Os Números Naturais
1.1
Os Naturais
Os números naturais formam um conjunto cujos elementos são
descritos de modo ordenado como segue:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
ou ainda, de modo mais sugestivo:
n
1
-
n
2
-
n
3
-
n
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
. . .
Essa descrição não é completa, pois só explicitamos alguns poucos
de seus elementos, guardando o restante na nossa imaginação.
No entanto, todos nós sabemos perfeitamente do que estamos fa-
lando. Tudo começa com o número um, simbolizado por 1, que repre-
1

“principal”
2010/4/19
page 2
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
2

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
senta a unidade, e com uma lei, simbolizada pelas flechas, que a cada
número, começando pelo 1, fornece o seu sucessor, isto é, o número
que lhe segue.
Sabemos também que esta sequência nunca termina; ou seja, os
números naturais são em quantidade infinita.
Cada elemento desse conjunto tem de ser obviamente represen-
tado por um símbolo distinto. Como fazer isto de modo a poder
memorizar todos esses símbolos? A resposta, muito engenhosa, é
dada pela adoção de um sistema de numeração, que no nosso caso
é o sistema decimal posicional, que será descrito no próximo capítulo.
Assim, por exemplo, sabemos que nesse sistema sucedendo o 10 vem
o 11 e sucedendo o 999 vem o 1 000 etc.
Os números naturais permitem contar objetos, inclusive subcon-
juntos do próprio conjunto dos naturais. Por exemplo, de 1 a n,
inclusive, existem exatamente n números naturais.
1.2
Ordem
Quando um número a aparece na sequência, acima mencionada,
antes
do número b, ou seja, à esquerda de b, escrevemos a < b e
dizemos que a é menor do que b, ou ainda, escrevemos b > a e dizemos
que b é maior do que a.
. . .
-
n
a
-
. . .
-
n
b
-
. . .
Por exemplo,
1 < 2,
5 < 7,
9 > 6
etc.
Essa relação que ordena os números naturais tem claramente a

“principal”
2010/4/19
page 3
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.2: ORDEM
3
seguinte propriedade transitiva:
Se a aparece antes de b e b aparece antes de c, então a aparece
antes de c.
. . .
-
n
a
-
. . .
-
n
b
-
. . .
-
n
c
-
. . .
Em símbolos:
Se a < b e b < c, então a < c.
Escreveremos também a ≤ b para representar a situação:
a < b
ou
a
= b.
Por exemplo, temos que 2 ≤ 3 e também que 2 ≤ 2.
A ordem nos naturais é total, o que significa que dados dois
números naturais a e b temos verificada uma e apenas uma das três
seguintes possibilidades (tricotomia):
a < b,
a
= b,
ou
a > b.
Sejam dados dois números naturais a e b com a < b. Definimos os
seguintes conjuntos:
[a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b,
(a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b,

“principal”
2010/4/19
page 4
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
4

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
(a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b,
[a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
O primeiro e o segundo conjunto são chamados, respectivamente,
de intervalo fechado intervalo aberto. Os dois outros conjuntos
são chamados indiferentemente de intervalos semiabertos, ou semife-
chados
.
Exemplos:
O intervalo (2, 5) = {3, 4}:
n
1
-
n
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo (2, 5] = {3, 4, 5}:
n
1
-
n
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
m
l
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo [2, 5) = {2, 3, 4}:
n
1
-
n
m
l
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo [2, 5] = {2, 3, 4, 5}:
n
1
-
n
m
l
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
m
l
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
Problema 1.1.
Determine os elementos dos seguintes intervalos:
(2, 3), (2, 3], [2, 3), [2, 3], (3, 7), (3, 7], [3, 7) e [3, 7].
Uma propriedade característica e fundamental do conjunto dos

“principal”
2010/4/19
page 5
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
5
números naturais, que não procuraremos justificar por parecer tão
óbvia, é a seguinte:
Princípio da Boa Ordem.
Todo subconjunto não vazio do conjunto
dos números naturais possui um menor elemento.
A afirmação acima significa que dado um subconjunto A de N, não
vazio, existe um elemento a de A tal que a ≤ b, para todo elemento b
de A.
Problema 1.2.
Determine o menor elemento de cada um dos seguin-
tes conjuntos: [2, 8], (2, 8], (3, 5), (3, 4), [3, 7] ∩ [2, 5], [3, 7] ∪ [2, 5].
1.3
Adição
Vamos a seguir introduzir a operação básica nos naturais.
Seja dado um número natural a, o sucessor de a será também
representado por a + 1:
. . .
-


a
-


a
+ 1
-
. . .
Sejam dados dois números naturais a e b, quaisquer. Podemos
deslocar a de b posições para a direita, obtendo um número que será
denotado por a + b. Essa operação entre números naturais é chamada
de adição e o número a + b é chamado soma de a e b.
. . .
-


a
-


a
+ 1 -


a
+ 2 -
. . .
-


a
+ b -
. . .

“principal”
2010/4/19
page 6
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
6

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
Por exemplo, dados a = 2 e b = 3, ao deslocarmos a de três
posições para a direita, obtemos a sequência
2,
2 + 1 = 3,
3 + 1 = 4,
4 + 1 = 5,
obtendo assim o número 2 + 3 = 5.
Agora, suponha que deslocamos b = 3 de a = 2 posições para a
direita, obtemos
3,
3 + 1 = 4,
3 + 2 = 5,
logo, também, 3 + 2 = 5.
Portanto,
2 + 3 = 3 + 2 = 5.
Este fato não é uma mera coincidência, ocorre sempre!
Propriedade comutativa da adição.
Quaisquer que sejam os nú-
meros naturais a e b, temos que
a
+ b = b + a.
Esse fato, devido à nossa experiência com os números, nos parece
óbvio, mas você teria alguma ideia de como mostrar que ao deslocar a
para a direita de b posições alcança-se o mesmo número que deslocar
b
para a direita de a posições?
Vamos agora introduzir um símbolo para representar o não deslo-
camento de um número. Diremos que deslocamos um número a de

“principal”
2010/4/19
page 7
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
7
zero
posições para a direita quando não o movemos do seu lugar.
Escreveremos, neste caso,
a
+ 0 = a.
Vamos colocar o símbolo 0, chamado zero, à esquerda de todos os
números naturais, obtendo o conjunto ordenado:
n
0
-
n
1
-
n
2
-
n
3
-
n
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
. . .
Portanto, consideraremos 0 < a, para todo número natural a.
Denotaremos o conjunto acima por N, continuando a chamá-lo de
conjunto (ampliado) dos números naturais.
Se deslocarmos agora 0 de 1 posição para a direita, obtemos o
número 1, se o deslocarmos de 2 posições à direita, obtemos 2, se o
deslocarmos de 3 posições à direita obtemos 3. Portanto, é intuitivo
aceitar que se deslocarmos 0 de a posições à direita obtemos o número
a
. Finalmente, é claro que 0 + 0 = 0, pois ao não deslocarmos o zero
nos mantemos no zero. Portanto, para todo a no conjunto N, temos
que
0 + a = a = a + 0.
Assim, quaisquer que sejam a e b no conjunto N (incluindo agora
o elemento 0), temos que a + b = b + a.
Podemos estender a soma para uma quantidade de números maior
do que dois. Por exemplo, para somar três números a, b e c, podemos

“principal”
2010/4/19
page 8
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
8

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
proceder da seguinte forma: somamos inicialmente a e b, formando o
número (a + b), depois somamos esse novo número com c, obtendo o
número (a + b) + c. Por exemplo dados 3, 5 e 6, formaríamos 3 + 5 = 8
e o somaríamos com 6 obtendo (3 + 5) + 6 = 8 + 6 = 14.
Por outro lado, poderíamos somar a com (b+c), obtendo o número
a
+(b+c). No exemplo acima, isso nos daria 3+(5+6) = 3+11 = 14.
Acontece que a adição tem também a seguinte propriedade:
Propriedade associativa da adição.
Quaisquer que sejam os nú-
meros a, b e c de N, tem-se
(a + b) + c = a + (b + c).
Problema 1.3.
Utilizando as propriedades comutativa e associativa
da adição, mostre que os 12 modos de somar três números a, b e c:
(a + b) + c, a + (b + c), (a + c) + b, a + (c + b), (b + a) + c, b + (a + c),
(b + c) + a, b + (c + a), c + (b + a), (c + a) + b, c + (a + b), (c + b) + a,
dão o mesmo resultado.
Adição e Ordem.
Há uma relação de compatibilidade entre a ordem
e a adição de números naturais, que é a seguinte:
Dados três números naturais a, b e c quaisquer,
se a < b, então a + c < b + c.

“principal”
2010/4/19
page 9
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
9
De fato, se a está à esquerda de b, então ao deslocarmos a e b
simultaneamente de c posições à direita, não é difícil aceitar que a + c
se mantém à esquerda de b + c.
. . .
-


a
-


a
+ 1 -


a
+ 2 -
. . .
-


b
-


b
+ 1 -


b
+ 2 -
. . .
A propriedade acima admite uma recíproca, ou seja:
Dados três números naturais a, b e c, quaisquer,
se a + c < b + c, então a < b.
Prova-se esta propriedade utilizando a tricotomia. De fato, su-
ponhamos que a + c < b + c. Pela tricotomia, temos uma das três
possibilidades:
b < a,
b
= a,
ou
a < b.
A primeira possibilidade não pode ser verificada, pois se b < a,
teríamos b + c < a + c, pela propriedade já provada, o que está em
contradição com a nossa hipótese a + c < b + c.
A segunda possibilidade também não pode ser verificada, pois se
a
= b, teríamos a + c = b + c, o que também está em contradição com
a nossa hipótese.
Só resta portanto a única possibilidade: a < b.
Você percebeu que utilizamos a tricotomia diversas vezes na prova
acima?

“principal”
2010/4/19
page 10
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
10

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
Problema 1.4.
Mostre que dados três números naturais a, b e c,
quaisquer,
se a + c = b + c, então a = b.
Problema 1.5.
Usando a propriedade de compatibilidade da adição
com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Se a < b e c < d, então a + c < b + d.
Vale a recíproca dessa propriedade?
Sugestão:
Usando a compatibilidade da adição com a ordem, some c
a ambos os lados da primeira desigualdade, some b a ambos os lados da
segunda desigualdade. Finalmente, compare as novas desigualdades
assim obtidas.
1.4
Subtração
Dados dois números naturais a e b tais que a ≤ b, o número
de deslocamentos para a direita partindo de a para atingir b será
representado por b − a e será chamado de diferença entre b e a.
Por exemplo, dados a = 3 e b = 7, é preciso deslocar 3 para a
direita de 4 posições para alcançar 7, logo 7 − 3 = 4.
Portanto, pela definição de b − a, temos que
a
+ (b − a) = b.
(1.1)

“principal”
2010/4/19
page 11
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.4: SUBTRAÇÃO
11
O número b − a é também o quanto devemos deslocar b para a
esquerda para alcançar a.
Devido à equação (1.1), o número b−a pode ser interpretado como
o quanto falta a a para atingir b.
Portanto, da equação (1.1) e do Problema 1.4, seque que se tiver-
mos uma igualdade entre números naturais do tipo a + c = b, então
c
= b − a.
Problema 1.6.
Tenho 50 reais, mas uma bicicleta custa 200 reais,
quanto falta para eu poder comprar a bicicleta?
Problema 1.7.
Mostre que se c ≤ a < b, então a − c < b − c.
Note que a − a = 0, pois devemos deslocar a de zero para atingir
a
; ou seja não falta nada a a para atingir a.
Note também que a − 0 = a, pois devemos deslocar 0 de a para a
direita para atingir a; ou seja, falta a a zero para atingir a.
Observe que, no contexto dos números naturais, só faz sentido
formar a diferença b − a quando b ≥ a: caso contrário, isto é, se
b < a
,
. . .
-
n
b
-
. . .
-
n
a
-
. . .
não há como deslocar b para a esquerda para alcançar a, ou o que é
o mesmo, não há como deslocar a para a direita para atingir b.
Quando a ≤ b, a diferença b − a, entre b e a, define uma operação
sobre pares de números naturais (a, b), que chamaremos de subtração.

“principal”
2010/4/19
page 12
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
12

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
A subtração é a operação inversa da adição, pois ao deslocarmos a
para a direita de b posições encontramos a + b, depois ao deslocarmos
a
+ b para a esquerda de b posições voltamos para a. Em símbolos:
(a + b) − b = a.
Reciprocamente, se deslocarmos b para a esquerda de a posições
encontramos b − a, depois ao deslocarmos b − a para a direita de a
posições encontramos b. Em símbolos:
(b − a) + a = b.
Quando b > a, o número b−a nos auxilia na contagem de quantos
números inteiros maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b existem.
Para contar esses números considere a sequência:
a
+ 0, a + 1, a + 2, a + 3, . . . , a + (b − a) = b,
cujo número de elementos é igual ao número de naturais entre 0 e
b
− a, inclusive, o que nos dá exatamente b − a + 1 números.
Portanto,
se a < b, o intervalo [a, b] possui b − a + 1 elementos.
Problema 1.8.
Quantos números naturais existem maiores ou iguais
a 37 e menores ou iguais a 72?
Problema 1.9.
Quantos números naturais existem em cada um dos
intervalos (32, 75], [32, 75) e (32, 75)?

“principal”
2010/4/19
page 13
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.5: MÚLTIPLOS
13
Problema 1.10.
Se a < b, quantos números naturais existem nos
intervalos (a, b], [a, b) e (a, b)?
1.5
Múltiplos
Dado a ∈ N, podemos considerar os múltiplos de a:
0 vezes a (nenhuma vez a), uma vez a, duas vezes a, três vezes a
etc., obtendo assim a sequência:
0 × a = 0, 1 × a = a, 2 × a = a + a, 3 × a = a + a + a, . . .
Por exemplo, 0 dúzias, uma dúzia, duas dúzias, três dúzias etc.,
são os múltiplos de 12.
Outro exemplo é dado pelos múltiplos de 2:
0, 2, 4, 6, 8, 10, · · ·
que são chamados de números pares. Um número que não é par é
chamado de ímpar.
Problema 1.11.
Os números ímpares são múltiplos de algum número
fixado maior do que 1? Você seria capaz de justificar de modo con-
vincente a sua resposta?
Problema 1.12.
Liste os 10 primeiros múltiplos de 5.
Problema 1.13.
Descubra quantos múltiplos de 7 existem entre 14
e 63, inclusive.

“principal”
2010/4/19
page 14
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
14

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS

Baixar 2.34 Mb.

Compartilhe com seus amigos:
  1   2   3   4   5   6   7




©bemvin.org 2020
enviar mensagem

    Página principal
Prefeitura municipal
santa catarina
Universidade federal
prefeitura municipal
pregão presencial
universidade federal
outras providências
processo seletivo
catarina prefeitura
minas gerais
secretaria municipal
CÂmara municipal
ensino fundamental
ensino médio
concurso público
catarina município
Dispõe sobre
Serviço público
reunião ordinária
câmara municipal
público federal
Processo seletivo
processo licitatório
educaçÃo universidade
seletivo simplificado
Secretaria municipal
sessão ordinária
ensino superior
Relatório técnico
Universidade estadual
Conselho municipal
técnico científico
direitos humanos
científico período
pregão eletrônico
espírito santo
Curriculum vitae
Sequência didática
Quarta feira
conselho municipal
prefeito municipal
distrito federal
nossa senhora
língua portuguesa
educaçÃo secretaria
Pregão presencial
segunda feira
recursos humanos
Terça feira
educaçÃO ciência
agricultura familiar