"principal" 2010/4/19 page 1



Baixar 5,18 Kb.
Pdf preview
Página1/7
Encontro27.11.2019
Tamanho5,18 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7

“principal”
2010/4/19
page 1
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Iniciação à Aritmética
Abramo Hefez

“principal”
2010/4/19
page 3
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Sobre o Autor
Abramo Hefez nasceu no Egito, mas é brasileiro por opção e ca-
rioca de coração. Cursou o ginasial científico no Rio de Janeiro,
graduou-se na PUC-Rio em Matemática e prosseguiu seus estudos
na Universidade de Pisa, Itália e nos Estados Unidos, doutorando-se,
em Geometria Algébrica no Massachusetts Institute of Technology. É
Professor Titular no Instituto de Matemática da Universidade Federal
Fluminense, onde exerce docência na graduação e na pós-graduação
e desenvolve atividade de pesquisa.

“principal”
2010/4/19
page 4
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i

“principal”
2010/4/19
page ii
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
da análise de um número finito de casos). Essas deduções podem se
transformar em verdadeiras demonstrações utilizando-se o Princípio
de Indução Matemática, que é assunto de um outro texto do autor,
publicado nesta coleção e destinado aos alunos do nível III.
Este texto não existiria não fosse o desafio lançado por Suely
Druck, Diretora Acadêmica da OBMEP, a quem agradeço calorosa-
mente pela preciosa oportunidade de me dirigir aqui a vocês.
Agradeço também ao colega Dinamérico Pombo por sua leitura cuida-
dosa do manuscrito original.
Finalmente, espero que você aprecie o material aqui apresentado
e que faça de seu estudo uma atividade prazerosa. Bom divertimento!
Niterói, março de 2009.
O Autor

“principal”
2010/4/19
page iii
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Sumário
1 Os Números Naturais
1
1.1 Os Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5 Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.7 Múltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.8 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Representação dos Naturais
23
2.1 O Sistema Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2 Critérios de Multiplicidade de 2, 5 e 10 . . . . . . . . .
26
2.3 Critérios de Multiplicidade de 9 e de 3 . . . . . . . . .
29
2.4 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
iii

“principal”
2010/4/19
page iv
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
iv
2.5 O Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.6 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . .
38
3 Os Inteiros e suas Propriedades
42
3.1 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2 Múltiplos Inteiros de um Número . . . . . . . . . . . .
45
3.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4 Algoritmo da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.5 Par ou Ímpar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.6 Zero, Um ou Dois? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.7 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.8 Algoritmo do mdc de Euclides . . . . . . . . . . . . . .
66
3.9 Aplicações da Relação de Bézout . . . . . . . . . . . .
70
3.10 Equações Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . .
75
4 A Aritmética dos Restos
81
4.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.2 Critérios de Multiplicidade e Restos . . . . . . . . . .
84
4.3 Congruências e Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.4 Congruências e Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.5 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6 Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5 Problemas Suplementares
99

“principal”
2010/4/19
page 1
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
Capítulo 1
Os Números Naturais
1.1
Os Naturais
Os números naturais formam um conjunto cujos elementos são
descritos de modo ordenado como segue:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
ou ainda, de modo mais sugestivo:
n
1
-
n
2
-
n
3
-
n
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
. . .
Essa descrição não é completa, pois só explicitamos alguns poucos
de seus elementos, guardando o restante na nossa imaginação.
No entanto, todos nós sabemos perfeitamente do que estamos fa-
lando. Tudo começa com o número um, simbolizado por 1, que repre-
1

“principal”
2010/4/19
page 2
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
2

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
senta a unidade, e com uma lei, simbolizada pelas flechas, que a cada
número, começando pelo 1, fornece o seu sucessor, isto é, o número
que lhe segue.
Sabemos também que esta sequência nunca termina; ou seja, os
números naturais são em quantidade infinita.
Cada elemento desse conjunto tem de ser obviamente represen-
tado por um símbolo distinto. Como fazer isto de modo a poder
memorizar todos esses símbolos? A resposta, muito engenhosa, é
dada pela adoção de um sistema de numeração, que no nosso caso
é o sistema decimal posicional, que será descrito no próximo capítulo.
Assim, por exemplo, sabemos que nesse sistema sucedendo o 10 vem
o 11 e sucedendo o 999 vem o 1 000 etc.
Os números naturais permitem contar objetos, inclusive subcon-
juntos do próprio conjunto dos naturais. Por exemplo, de 1 a n,
inclusive, existem exatamente n números naturais.
1.2
Ordem
Quando um número a aparece na sequência, acima mencionada,
antes
do número b, ou seja, à esquerda de b, escrevemos a < b e
dizemos que a é menor do que b, ou ainda, escrevemos b > a e dizemos
que b é maior do que a.
. . .
-
n
a
-
. . .
-
n
b
-
. . .
Por exemplo,
1 < 2,
5 < 7,
9 > 6
etc.
Essa relação que ordena os números naturais tem claramente a

“principal”
2010/4/19
page 3
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.2: ORDEM
3
seguinte propriedade transitiva:
Se a aparece antes de b e b aparece antes de c, então a aparece
antes de c.
. . .
-
n
a
-
. . .
-
n
b
-
. . .
-
n
c
-
. . .
Em símbolos:
Se a < b e b < c, então a < c.
Escreveremos também a ≤ b para representar a situação:
a < b
ou
a
= b.
Por exemplo, temos que 2 ≤ 3 e também que 2 ≤ 2.
A ordem nos naturais é total, o que significa que dados dois
números naturais a e b temos verificada uma e apenas uma das três
seguintes possibilidades (tricotomia):
a < b,
a
= b,
ou
a > b.
Sejam dados dois números naturais a e b com a < b. Definimos os
seguintes conjuntos:
[a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x ≤ b,
(a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a < x < b,

“principal”
2010/4/19
page 4
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
4

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
(a, b] o conjunto dos números naturais x tais que a < x ≤ b,
[a, b) o conjunto dos números naturais x tais que a ≤ x < b.
O primeiro e o segundo conjunto são chamados, respectivamente,
de intervalo fechado intervalo aberto. Os dois outros conjuntos
são chamados indiferentemente de intervalos semiabertos, ou semife-
chados
.
Exemplos:
O intervalo (2, 5) = {3, 4}:
n
1
-
n
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo (2, 5] = {3, 4, 5}:
n
1
-
n
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
m
l
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo [2, 5) = {2, 3, 4}:
n
1
-
n
m
l
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
O intervalo [2, 5] = {2, 3, 4, 5}:
n
1
-
n
m
l
2
-
n
m
l
3
-
n
m
l
4
-
n
m
l
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
n
10
-
Problema 1.1.
Determine os elementos dos seguintes intervalos:
(2, 3), (2, 3], [2, 3), [2, 3], (3, 7), (3, 7], [3, 7) e [3, 7].
Uma propriedade característica e fundamental do conjunto dos

“principal”
2010/4/19
page 5
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
5
números naturais, que não procuraremos justificar por parecer tão
óbvia, é a seguinte:
Princípio da Boa Ordem.
Todo subconjunto não vazio do conjunto
dos números naturais possui um menor elemento.
A afirmação acima significa que dado um subconjunto A de N, não
vazio, existe um elemento a de A tal que a ≤ b, para todo elemento b
de A.
Problema 1.2.
Determine o menor elemento de cada um dos seguin-
tes conjuntos: [2, 8], (2, 8], (3, 5), (3, 4), [3, 7] ∩ [2, 5], [3, 7] ∪ [2, 5].
1.3
Adição
Vamos a seguir introduzir a operação básica nos naturais.
Seja dado um número natural a, o sucessor de a será também
representado por a + 1:
. . .
-


a
-


a
+ 1
-
. . .
Sejam dados dois números naturais a e b, quaisquer. Podemos
deslocar a de b posições para a direita, obtendo um número que será
denotado por a + b. Essa operação entre números naturais é chamada
de adição e o número a + b é chamado soma de a e b.
. . .
-


a
-


a
+ 1 -


a
+ 2 -
. . .
-


a
+ b -
. . .

“principal”
2010/4/19
page 6
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
6

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
Por exemplo, dados a = 2 e b = 3, ao deslocarmos a de três
posições para a direita, obtemos a sequência
2,
2 + 1 = 3,
3 + 1 = 4,
4 + 1 = 5,
obtendo assim o número 2 + 3 = 5.
Agora, suponha que deslocamos b = 3 de a = 2 posições para a
direita, obtemos
3,
3 + 1 = 4,
3 + 2 = 5,
logo, também, 3 + 2 = 5.
Portanto,
2 + 3 = 3 + 2 = 5.
Este fato não é uma mera coincidência, ocorre sempre!
Propriedade comutativa da adição.
Quaisquer que sejam os nú-
meros naturais a e b, temos que
a
+ b = b + a.
Esse fato, devido à nossa experiência com os números, nos parece
óbvio, mas você teria alguma ideia de como mostrar que ao deslocar a
para a direita de b posições alcança-se o mesmo número que deslocar
b
para a direita de a posições?
Vamos agora introduzir um símbolo para representar o não deslo-
camento de um número. Diremos que deslocamos um número a de

“principal”
2010/4/19
page 7
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
7
zero
posições para a direita quando não o movemos do seu lugar.
Escreveremos, neste caso,
a
+ 0 = a.
Vamos colocar o símbolo 0, chamado zero, à esquerda de todos os
números naturais, obtendo o conjunto ordenado:
n
0
-
n
1
-
n
2
-
n
3
-
n
4
-
n
5
-
n
6
-
n
7
-
n
8
-
n
9
-
. . .
Portanto, consideraremos 0 < a, para todo número natural a.
Denotaremos o conjunto acima por N, continuando a chamá-lo de
conjunto (ampliado) dos números naturais.
Se deslocarmos agora 0 de 1 posição para a direita, obtemos o
número 1, se o deslocarmos de 2 posições à direita, obtemos 2, se o
deslocarmos de 3 posições à direita obtemos 3. Portanto, é intuitivo
aceitar que se deslocarmos 0 de a posições à direita obtemos o número
a
. Finalmente, é claro que 0 + 0 = 0, pois ao não deslocarmos o zero
nos mantemos no zero. Portanto, para todo a no conjunto N, temos
que
0 + a = a = a + 0.
Assim, quaisquer que sejam a e b no conjunto N (incluindo agora
o elemento 0), temos que a + b = b + a.
Podemos estender a soma para uma quantidade de números maior
do que dois. Por exemplo, para somar três números a, b e c, podemos

“principal”
2010/4/19
page 8
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
8

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
proceder da seguinte forma: somamos inicialmente a e b, formando o
número (a + b), depois somamos esse novo número com c, obtendo o
número (a + b) + c. Por exemplo dados 3, 5 e 6, formaríamos 3 + 5 = 8
e o somaríamos com 6 obtendo (3 + 5) + 6 = 8 + 6 = 14.
Por outro lado, poderíamos somar a com (b+c), obtendo o número
a
+(b+c). No exemplo acima, isso nos daria 3+(5+6) = 3+11 = 14.
Acontece que a adição tem também a seguinte propriedade:
Propriedade associativa da adição.
Quaisquer que sejam os nú-
meros a, b e c de N, tem-se
(a + b) + c = a + (b + c).
Problema 1.3.
Utilizando as propriedades comutativa e associativa
da adição, mostre que os 12 modos de somar três números a, b e c:
(a + b) + c, a + (b + c), (a + c) + b, a + (c + b), (b + a) + c, b + (a + c),
(b + c) + a, b + (c + a), c + (b + a), (c + a) + b, c + (a + b), (c + b) + a,
dão o mesmo resultado.
Adição e Ordem.
Há uma relação de compatibilidade entre a ordem
e a adição de números naturais, que é a seguinte:
Dados três números naturais a, b e c quaisquer,
se a < b, então a + c < b + c.

“principal”
2010/4/19
page 9
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.3: ADIÇÃO
9
De fato, se a está à esquerda de b, então ao deslocarmos a e b
simultaneamente de c posições à direita, não é difícil aceitar que a + c
se mantém à esquerda de b + c.
. . .
-


a
-


a
+ 1 -


a
+ 2 -
. . .
-


b
-


b
+ 1 -


b
+ 2 -
. . .
A propriedade acima admite uma recíproca, ou seja:
Dados três números naturais a, b e c, quaisquer,
se a + c < b + c, então a < b.
Prova-se esta propriedade utilizando a tricotomia. De fato, su-
ponhamos que a + c < b + c. Pela tricotomia, temos uma das três
possibilidades:
b < a,
b
= a,
ou
a < b.
A primeira possibilidade não pode ser verificada, pois se b < a,
teríamos b + c < a + c, pela propriedade já provada, o que está em
contradição com a nossa hipótese a + c < b + c.
A segunda possibilidade também não pode ser verificada, pois se
a
= b, teríamos a + c = b + c, o que também está em contradição com
a nossa hipótese.
Só resta portanto a única possibilidade: a < b.
Você percebeu que utilizamos a tricotomia diversas vezes na prova
acima?

“principal”
2010/4/19
page 10
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
10

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
Problema 1.4.
Mostre que dados três números naturais a, b e c,
quaisquer,
se a + c = b + c, então a = b.
Problema 1.5.
Usando a propriedade de compatibilidade da adição
com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Se a < b e c < d, então a + c < b + d.
Vale a recíproca dessa propriedade?
Sugestão:
Usando a compatibilidade da adição com a ordem, some c
a ambos os lados da primeira desigualdade, some b a ambos os lados da
segunda desigualdade. Finalmente, compare as novas desigualdades
assim obtidas.
1.4
Subtração
Dados dois números naturais a e b tais que a ≤ b, o número
de deslocamentos para a direita partindo de a para atingir b será
representado por b − a e será chamado de diferença entre b e a.
Por exemplo, dados a = 3 e b = 7, é preciso deslocar 3 para a
direita de 4 posições para alcançar 7, logo 7 − 3 = 4.
Portanto, pela definição de b − a, temos que
a
+ (b − a) = b.
(1.1)

“principal”
2010/4/19
page 11
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.4: SUBTRAÇÃO
11
O número b − a é também o quanto devemos deslocar b para a
esquerda para alcançar a.
Devido à equação (1.1), o número b−a pode ser interpretado como
o quanto falta a a para atingir b.
Portanto, da equação (1.1) e do Problema 1.4, seque que se tiver-
mos uma igualdade entre números naturais do tipo a + c = b, então
c
= b − a.
Problema 1.6.
Tenho 50 reais, mas uma bicicleta custa 200 reais,
quanto falta para eu poder comprar a bicicleta?
Problema 1.7.
Mostre que se c ≤ a < b, então a − c < b − c.
Note que a − a = 0, pois devemos deslocar a de zero para atingir
a
; ou seja não falta nada a a para atingir a.
Note também que a − 0 = a, pois devemos deslocar 0 de a para a
direita para atingir a; ou seja, falta a a zero para atingir a.
Observe que, no contexto dos números naturais, só faz sentido
formar a diferença b − a quando b ≥ a: caso contrário, isto é, se
b < a
,
. . .
-
n
b
-
. . .
-
n
a
-
. . .
não há como deslocar b para a esquerda para alcançar a, ou o que é
o mesmo, não há como deslocar a para a direita para atingir b.
Quando a ≤ b, a diferença b − a, entre b e a, define uma operação
sobre pares de números naturais (a, b), que chamaremos de subtração.

“principal”
2010/4/19
page 12
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
12

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS
A subtração é a operação inversa da adição, pois ao deslocarmos a
para a direita de b posições encontramos a + b, depois ao deslocarmos
a
+ b para a esquerda de b posições voltamos para a. Em símbolos:
(a + b) − b = a.
Reciprocamente, se deslocarmos b para a esquerda de a posições
encontramos b − a, depois ao deslocarmos b − a para a direita de a
posições encontramos b. Em símbolos:
(b − a) + a = b.
Quando b > a, o número b−a nos auxilia na contagem de quantos
números inteiros maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b existem.
Para contar esses números considere a sequência:
a
+ 0, a + 1, a + 2, a + 3, . . . , a + (b − a) = b,
cujo número de elementos é igual ao número de naturais entre 0 e
b
− a, inclusive, o que nos dá exatamente b − a + 1 números.
Portanto,
se a < b, o intervalo [a, b] possui b − a + 1 elementos.
Problema 1.8.
Quantos números naturais existem maiores ou iguais
a 37 e menores ou iguais a 72?
Problema 1.9.
Quantos números naturais existem em cada um dos
intervalos (32, 75], [32, 75) e (32, 75)?

“principal”
2010/4/19
page 13
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
N
SEC. 1.5: MÚLTIPLOS
13
Problema 1.10.
Se a < b, quantos números naturais existem nos
intervalos (a, b], [a, b) e (a, b)?
1.5
Múltiplos
Dado a ∈ N, podemos considerar os múltiplos de a:
0 vezes a (nenhuma vez a), uma vez a, duas vezes a, três vezes a
etc., obtendo assim a sequência:
0 × a = 0, 1 × a = a, 2 × a = a + a, 3 × a = a + a + a, . . .
Por exemplo, 0 dúzias, uma dúzia, duas dúzias, três dúzias etc.,
são os múltiplos de 12.
Outro exemplo é dado pelos múltiplos de 2:
0, 2, 4, 6, 8, 10, · · ·
que são chamados de números pares. Um número que não é par é
chamado de ímpar.
Problema 1.11.
Os números ímpares são múltiplos de algum número
fixado maior do que 1? Você seria capaz de justificar de modo con-
vincente a sua resposta?
Problema 1.12.
Liste os 10 primeiros múltiplos de 5.
Problema 1.13.
Descubra quantos múltiplos de 7 existem entre 14
e 63, inclusive.

“principal”
2010/4/19
page 14
Estilo OBMEP
i
i
i
i
i
i
i
i
14

CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS


Compartilhe com seus amigos:
  1   2   3   4   5   6   7


©bemvin.org 2019
enviar mensagem

    Página principal