O truque do logarítmo



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O truque do logarítmo:

A expansão em série de Taylor-McLaurin da função pode ser feita notando que, e . As derivadas de ordem superior a um podem ser facilmente calculadas usando: , para obter . Desse resultado mostramos que:



e:

.

O truque do logarítimo é muito útil em casos em que a convergência da série de Taylor é problemática. Suponha o caso da função , com mas . Melhor dizendo, com e . Se fizermos a expansão de Taylor-McLaurin para esta função, obteremos:

.

Cuja convergência depende se o produto é maior ou menor do que 1. Em lugar de fazer a expansão direta da função vamos expandir seu logaritmo na forma: , que não apresenta problemas de convergência para . Agora retorna-se à função inicial para reescreve-la como .

Teorema Central do Limite e o truque do logarítmo:

Agora vamos tomar uma variável aleatória dada pela adição de v.a. independentes no limite . Sabemos que . Note que se as v.a. fossem, além de independentes, idênticas [i.i.d.], teríamos , um caso semelhante ao utilizado no truque do logarítmo. Também sabemos que e que . Um número menor do que 1 elevado à uma potência muito alta tende a zero. Mas não em porque , o que significa que a função se torna concentrada em torno de , caindo a zero para fora desse intervalo. Com isso podemos fazer uma expansão em série de Taylor-McLaurin da função característica, mas usando o truque do logarítmo, . Mas essa é a expansão dos cumulantes . Se as v.a. não são idênticas a expansão em Taylor agora será dada por .
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