Nota: essas notas de aula estão em constante atualização após reformulações e correções. Fórmulas do capítulo



Baixar 1,35 Mb.
Página6/6
Encontro09.03.2017
Tamanho1,35 Mb.
1   2   3   4   5   6

Figura 8. Valor Presente de um Título em função da taxa de juros

  1. Risco de variação de Valor Presente. . Na realidade sabendo que que a curva tem a concavidade para cima sabemos que .

MODIFIED DURATION: Enquanto a duration é definida pela sensibilidade em relação ao log-retorno r, , a modified duration é definida pela sensibilidade ao retorno , ou seja, . Agora podemos usar a regra da cadeia para calcular MD sabendo que eentãologo:

.

Exemplo 16. Risco de Falência de bancos por descasamentos de DURATIONS de ativos e passivos.

Antes de analisar o risco de falência vamos definir economicamente os termos utilizados.

Vocabulário: Patrimônio é o estoque monetário de uma empresa e é composto por BENS, DIREITOS e OBRIGAÇÕES.

BENS. Os bens podem ser TANGÍVEIS – que possuem massa como imóveis, veículos, estoques de mercadorias, máquinas, móveis etc [transformados em valores monetários], ou DINHEIRO [cash]. Também podem ser INTANGÍVEIS – que não possuem massa, não é material, mas vale e pode ser negociado. Exemplo: marca, patentes, direitos autorais, licensas [as cantinas da UNICAMP só podem operar com uma licensa; loja pode vender o PONTO se estiver bem localizada; para aterrisar em um aeroporto as companhias aéreas precisam de uma licensa – a GOL comprou a VARIG especialmente pelas licensas que ela possuía em muitos aeroportos internacionais; linhas de ônibus, etc. Comment: licensa é daqueles bens em que um agente cria uma dificuldade e depois vende a possibilidade de retirada da mesma]. As vezes é difícil precificar um bem intangível – quanto vale uma MARCA? Mas existe um mercado para isso e a MARCA vale o quanto algum agente está disposto a pagar por ela. Geralmente as empresas fazem cálculos sobre o valor presente do fluxo de caixa futuro esperado devido a determinada marca.

DIREITOS. Um direito é deter o poder legal de exigir algo. Valores a receber, títulos, contas, duplicatas. Sem um governo por trás para garantir esse direito o mundo entra em caos. Quem garante a propriedade de algo é o ESTADO, que detém o monopólio da violência e pode enclausurar qualquer membro do estado que não obedeça suas leis. Você só pode negociar o que é seu, e um carro ou uma casa serão seus se, e apenas se, você possuir o direito de propriedade legalizado frente ao estado. Deixo para o leitor imaginar o que ocorreria se, de repente, todos os documentos dos cartórios brasileiros desaparecessem. Propriedade legal da TERRA é algo bem recente na história da humanidade. No Brasil a lei de terras (lei nº 601) é de 18 de setembro de 1850. [aqui vale um discussão da importância dos direitos de propriedade privada para o desenvolvimento de uma economia monetária capitalista]

OBRIGAÇÕES. São as dívidas com terceiros.

Patrimônio = bens + direitos. Já patrimônio líquido = bens + direitos – obrigações.

ATIVOS = conjunto de bens e direitos da empresa. PASSIVOS = obrigações EXIGÍVEIS da empresa. A palavra exigível não está aqui por acaso, mas tem um sentido importante. Os investidores (sócios) iniciais que criaram a empresa formaram o CAPITAL SOCIAL da empresa. A empresa (pessoa jurídica) deve (tem uma obrigação) para com seus proprietários, mas essa obrigação não é exigível. Enquanto a empresa operar os proprietários não podem exigir seu dinheiro de volta. Já todo o capital de TERCEIROS, não proprietários, é EXIGÍVEL, e a empresa tem a obrigação legal de ressarcir esses valores aos proprietários dos mesmos. Os exigíveis são do tipo dívidas, recursos de terceiros como fornecedores, salários dos funcionários, governo [impostos], encargos sociais, etc. Um acionista não pode sexigir seu dinheiro de volta, mas um banco que emprestou para a empresa pode.

Patrimônio líquido [PL] = patrimônio não exigível. O Ativo é o PL + passivo.

Para um investidor no mercado financeiro um ativo é simplesmente um título que lhe dá o direito a um rendimento no futuro.

Bancos possuem ativo e passivo. Depósitos à vista são PASSIVO do banco – os depositantes têm o direito de EXIGIR seu dinheiro de volta à qualquer momento. Já quando o banco empresta dinheiro ele cria um ativo. O detalhe é que esse ativo tem prazo longo – o banco só pode exigir a quantia contratada no prazo estipulado. Por isso a duration dos passivos dos bancos tende a ser de curto prazo enquanto a dos ativos tende a ser de prazo longo.

Os árabes trouxeram para a europa duas idéias muito importantes, os algarismos indo-arábicos, incluindo o zero [multiplicar em algarismos romanos era uma operação complicadíssima] e a contabilidade em partida dobrada. Nessa contabilidade se divide o que é direito do que é obrigação. O balanço patrimonial é dividido como mostrado na figura 7 abaixo.





Figura 7. Balanço Patrimonial de uma empresa.

Suponha quem um banco tem um capital próprio [não exígivel] que lhe fornece rendimentos [a quantidade de cash do capital próprio tende a ser pequena – ninguém mais guarda dinheiro no colchão]. O valor presente desse capital na taxa de juros atual de mercado é . Além disso possui capital de terceiros, que gerou um passivo e parte da qual foi para o ativo. Vamos chamar esse capital de terceiros no ativo de e o passivo de . Os valores presentes serão dados por e . Note que em t = 0, pois se trata de uma redistribuição apenas dos capitais de terceiros. Note também que como estão investidos em títulos diferentes com maturidades diferentes terão durations diferentes.

O PL em valor presente do banco em será . Os valores presentes dependem da taxa de juros, ou da taxa de desconto. O que ocorre se a taxa de juros muda de para ? Note que a definição de DURATION foi , logo a aproximação em primeira ordem para a variação do capital será [supondo que ]. A variação do PL será dada por: . Suponha que então . Se o banco vai a falência. Qual a variação em que poderia levar o banco a falência nessa aproximação? Seria tal que ou seja:



Para um banco típico então onde . Assim quanto maior o descasamento entre os durations do ativo e do passivo menor o que pode levar o banco à falência. Da mesma forma, quanto maior a alavancagem, a fração de capital próprio do banco, menor o de falência. Se o banco conseguir casar os durations do ativo e do passivo jamais irá a falência.

Exemplo 17. Imunização de ativos. Suponha que você possua um conjunto de ativos que pode perder valor devido à variação de taxas de juros. A idéia da imunização é vender títulos e criar um passivo, nesse caso. Se os valores são idênticos basta casar os durations para que o . Note que isso é uma aproximação de primeira ordem, supondo que a curva segue a reta tangente. Um esquema mais sofisticado seria casar os durations, relacionado com a primeira derivada, e a segunda derivada.

1 A lenda conta que o escocês John Napier soube por John Craig por volta de 1590 que Tycho Brahe usava muitas regras de prostaférese em suas observações dos planetas no observatório na ilha de Hven no mar báltico. Daí saiu em busca de uma função matemática mais adequada do que as funções trigonométricas. Aparentemente os logarítmos eram conhecidos desde o século 8 na Índia, e o próprio Tycho Brahe os estava desenvolvendo também. Napier desenvolveu a base natural e e deixou uma tabela dos logarítmos com bastante precisão.

2 Para mostrar o limite precisamos colocá-lo na forma utilizável pela regra de L´Hopital, ou seja, ou . Para isso aplicamos o logarítmo e podemos derivar em cima e em baixo, obtendo . Agora usamos o teorema de que se o limite existe e f(x) é uma função contínua então . Aplicando no nosso caso temos então .

3 A transformada de Laplace de uma função $(t) é definida por , logo o VP de um fluxo de pagamentos até o tempo T é a transformada de Laplace de

4 Elasticidade na economia é definida como a variação percentual de um efeito y devido a uma variação percentual de uma causa x. Em termos matemáticos [se fala elasticidade x de y]. Também se pode escrever . A grande vantagem da elasticidade é que ela é completamente adimensional. Exemplos econômicos são: uma variação de 1% na taxa de câmbio gera 0,1% de aumento na inflação, ou a elasticidade câmbio da inflação é de 0,1. Quanto seria a elasticidade preço da gasolina sobre a inflação?
1   2   3   4   5   6


©bemvin.org 2016
enviar mensagem

    Página principal