Nota: essas notas de aula estão em constante atualização após reformulações e correções. Fórmulas do capítulo



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Exemplo 11. Monetização da Dívida. A dívida pública é emitida na moeda do país e poderia ser paga simplesmente emitindo moeda. O que aconteceria se o governo decidisse por essa via? Depende da velocidade-renda da moeda e dos prazos dos títulos da dívida. No caso dos EUA existem muitos títulos do tesouro com vencimento de 30 anos. Nesse caso todo ano o governo deveria pagar 1/30, da ordem de 3%, da dívida. Com uma dívida de 50% do PIB, bastaria então emitir 1,5% do PIB por ano. Se a velocidade-renda da moeda é de 10, ou seja, existe 10% de moeda circulando, e toda essa emissão se transformasse em inflação, essa seria de 15% aa. O crescimento do PIB abateria parte dessa inflação. Já no Brasil a dívida pública chegou a ser de apenas 6 meses, dilatando o prazo desde então. Se a maturidade da dívida é de um ano, monetizar 50% do PIB explodiria a inflação completamente, inundando o mercado com 5 vezes [para 1/k = 10] mais moeda do que a moeda circulante.

Exemplo 12. Os Bancos e a Criação de Moeda – o multiplicador bancário.

Mesmo considerando a impossibilidade de emissão de moeda por uma autoridade monetária os bancos são capazes de criar moeda. Imagine um banco italiano no século XV onde apenas os metais ouro, prata e cobre eram aceitos como moeda. Os agentes econômicos depositavam seu dinheiro no banco até para não serem obrigados a carregar o peso dos mesmos e evitar assaltos. Bancos em várias praças já existiam desde essa época e uma ordem de pagamento permitia alguém retirar dinheiro de um banco fora da praça onde o depositou na europa. Não demorou muito para que os primeiros bancos percebessem que seus clientes deixavam o dinheiro no banco um bom tempo. Na soma [economistas preferem dizer: no agregado] de todos os clientes o banco percebe um comportamento do tipo mostrado na figura 5, em que a linha vermelha representa um limite inferior da flutuação dos depósitos no banco.





Figura 5. Flutuação de depósitos bancários em função do tempo.

Então a idéia de emprestar esse montante [aparentemente sem risco] foi imediata. Note que ao emprestar o dinheiro de um terceiro, dois agentes econômicos estão compartilhando, ao mesmo tempo [time sharing] a mesma moeda. Enquanto o proprietário primário não usa sua moeda ela permanece emprestada a outro. Desde esse momento, portanto, o banco criou moeda. Mas a capacidade de criação de moeda é maior ainda. O agente que tomou dinheiro emprestado o gasta e as pessoas e empresas que receberam o dinheiro o depositam de volta nos bancos, que voltam a emprestá-lo, e o processo contínua. Vamos modelar esse sistema.



Suponha que o banco central [BC] emitiu uma expansão primária Ep, i.e., colocou mais Ep de moeda na economia além da que já existia. Vamos tomar o agregado de todos os bancos, como se fosse um banco apenas e definir , a taxa que os bancos consideram segura para emprestar, e a fração do dinheiro público que retorna aos bancos. Note que . A figura 6 mostra o fluxo de dinheiro entre o BC os bancos e o público.



Figura 6. Fluxo de dinheiro entre BC, bancos e o público.

Note que a soma dos depósitos à vista DV será:



Trata-se de uma PG com razão (fe) < 1, logo . O papel moeda PMp em poder do público será:



logo: .

Já as reservas bancárias RB, serão dadas por:



.

Como teste dos resultados checamos se o papel moeda em poder do público mais as reservas bancárias é idêntico à expansão primária: CQD.



O multiplicador bancário Z é definido como: e será dado por . Suponha que , ou seja, 100% dos depósitos do público retornam aos bancos rapidamente e que os bancos estejam alavancados por um fator de 10, i.e., [10% fica nas reservas dos bancos e 90% retorna ao público através de empréstimos]. Neste caso , ou seja, o sistema bancário multiplicou por 10 uma emissão primária do BC. Vejamos isso em termos das reservas bancárias, pois esse é um instrumento importante de política monetária que pode ser utilizado pelo BC. Vamos definir , então que leva a . Sabemos que logo , portanto e , logo:.

Uma das formas do BC atuar sobre o multiplicador bancário é exigindo, por lei, uma certa taxa de reserva r dos bancos [parte delas obrigatoriamente depositadas no BC]. Na época de altas inflações o BC chegou a exigir , mas com a inflação controlada chegamos a . Nesse caso, se o público fica com 10% dos seus depósitos à vista como moeda então e o multiplicador bancário é da ordem de .

Em resumo: os bancos criam moeda e muito mais moeda do que a emitida pela autoridade monetária. Fatores de multiplicação de 10 não são incomuns. Multiplicador bancário da ordem de 3 é mais comum. O BC deve considerar esse fato na sua política de controle da inflação.



Exemplo 13. CRISE. O que ocorreria se de repente os bancos parassem de emprestar [como ocorreu em 2008]? O multiplicador bancário cai para perto de 1 e a quantidade de moeda circulando cai drasticamente. Ou seja, recessão por falta de base monetária. Trata-se do reverso da moeda da inflação. Além disso, fica claro que se todo mundo decidir sacar seu dinheiro dos bancos ao mesmo tempo esse dinheiro simplesmente não existe. Se o público por algum motivo desconfiar que os bancos vão quebrar todo mundo corre para sacar seu dinheiro e os bancos realmente quebrarão. Isso já ocorreu muitas vezes na história e causou muito prejuízo para a sociedade. A Inglaterra foi o primeiro país a criar um banco central [que era privado] para evitar a repetição desse tipo de crises. No Brasil o BC foi criado na década de 1960, surpreendentemente tarde na história das economias monetárias.

ANALOGIA. Suponha que uma companhia aéra venda bilhetes sem data marcada que dão direito aos clientes de viajarem dentro de determinado período [não é assim que fazem]. Se ela emitir poucos bilhetes os aviões voarão vazios. Se emitir demais os clientes não voarão por falta de espaço. O equilíbrio só se estabelece quando os clientes acertarem o time-sharing dos assentos. Se o número de aviões aumentar a companhia deve emitir mais bilhetes. Se correr o boato de que a companhia vai falir todo mundo vai querer viajar no mesmo momento e não haverá lugar para todos. Dessa analogia se percebe a complexidade de gerir uma economia monetária. Além de tudo a quantidade de moeda circulante depende do humor dos agentes, bancos e público. Só o fato de ser possível estabilizar a inflação em torno de 3% aa é impressionante.



MORAL DA HISTÓRIA. Algo tão básico para a sobrevivência de uma sociedade monetária, organizada em torno da moeda, como a quantidade de moeda circulante depende da probabilidade de não haver corrida bancária e da confiança no sistema financeiro. Até nesse aspecto todos corremos RISCO. Estamos em uma loteria queiramos ou não.

Valor Presente. O que você acha da seguinte proposta: você me dá unidades monetárias hoje que eu as devolvo no período seguinte? Se você mantiver seu dinheiro e não gastá-lo continuará com as unidades monetárias no momento seguinte, em situação igual a da proposta. Por outro lado, se alguma necessidade aparece hoje você tem o dinheiro disponível se não aceitar a proposta. Logo não aceitar a proposta é melhor. Daí se muda a proposta: quanto você aceita me dar hoje para que eu lhe devolva unidades monetárias no período seguinte? Sejao valor que você aceitaria trocar por amanhã. Vejamos as suas opções: você poderia não me emprestar o dinheiro e aplicar na taxa para ter amanhã, ou me emprestar o dinheiro e obter amanhã. Isso significa que você trocaria hoje por amanhã apenas se , ou seja, hoje por amanhã. O presente vale mais do que o futuro, e você descontou o valor do futuro pelo fator . O valor é chamado de valor presente de unidades monetárias um período depois. Obviamente que um valor a ser recebido períodos no futuro vale hoje . Suponha agora que você deseje trocar um fluxo de pagamentos em que receberá por períodos no futuro, por um valor a vista. Qual o valor presente desse fluxo de pagamentos?



Mas caímos de novo na PG com . Então sabemos que , logo o valor presente de um fluxo de pagamentos constante será . Uma instituição que pode aplicar seu dinheiro na taxa de juros pode trocar uma casa que vale no mercado hoje por um fluxo de pagamentos se ou que é, exatamente, a prestação da tabela Price.

Valor presente de um fluxo de pagamentos qualquer. Nesse caso . Se o fluxo for contínuo com intervalo de tempo no limite tendendo a zero o valor presente deve ser modificado para . Essa expressão fica melhor usando o log-retorno . Nesse caso ou . 3

Note dessa expressão que o fator exponencial desconta o futuro de modo que, depois de determinado prazo, o futuro, qualquer que seja a renda , não interessa mais. Vamos escrever , onde e . Nesse caso . A função exponencial cai para quando e esse tempo é uma boa medida de até onde o futuro interessa. Outro tempo característico é em quanto tempo o capital aplicado à taxa de juros dobra, ou seja, , logo . A tabela 1 abaixo dá uma idéia das ordens de grandeza associadas a esses tempos em função do retorno. Note que o crescimento chinês de 10% aa dobra o PIB a cada 7,3 anos, enquanto um “crescimento sustentável” [sem gerar inflação] para o Brasil de 5% aa dobraria o PIB a cada 14,2 anos.

Tabela 1. Tempo de decaimento e para dobrar 2 em função da taxa de desconto R

R (aa)

r (1/ano)

(ano)

(ano)

1%

0,00995

110,5

69,7

3%

0,0296

33,8

23,4

5%

0,0488

20,5

14,2

10%

0,0953

10,5

7,3

15%

0,140

7,2

5,0

20%

0,182

5,5

3,8

25%

0,223

4,5

3,1

O gráfico da figura 7 mostra o desconto do futuro para essas taxas.



Figura 7. Fator de desconto em função do tempo para diferentes taxas de desconto.

Exemplo 14. Valor presente de uma perpetuidade. Na Inglaterra se vendem títulos que pagarão ao detentor, até o fim de sua vida, uma renda constante . Qual o valor presente de um título desses considerando que o detentor considera que viverá eternamente? Basta fazer na fórmula a. Nesse caso 1 é desprezível frente à , ou seja, e logo .

Exemplo 15. Valor do pedágio e a privatização das estradas. Quando uma empresa compra uma outra o cálculo inicial é de qual o valor presente da empresa a ser adquirida. Suponha que a empresa gere um lucro anual . O VP dessa renda será de , independentemente de quanto foi o custo para a implantação da empresa inicial. Ou seja, a compradora só olha para a futuro e para o valor a ser gasto no presente. Considerando uma taxa de desconto razoável de 10% aa o valor presente é da ordem de . Por isso quanto maior o lucro maior o valor arrecadado na privatização de uma empresa/serviço. Garantindo por lei o valor do pedágio que a concessionária usufruirá o governo aumenta o valor pago pela concessão. Pode até gastar muito bem esse valor, mas a injustiça recai no fato de que apenas os usuários dos serviços privatizados pagarão pelo mesmo, e não a sociedade como um todo. Podemos estimar [em uma estimativa são aceitáveis erros por fatores de 5 a 10] o valor da privatização do sistema Anhanguera-Bandeirantes. Como já discutimos nesse sistem se cobra 12 reais/100km enquanto nossa estimativa do custo de manutenção, baseado na Fernão Dias, foi de 3 reais/100km, gerando um lucro de 9 reais/100km/veículo. Caminhões e ônibus pagam mais, e representam uma boa parcela do movimento, mas para estimativas vamos esquece-los. No site http://pt.wikipedia.org/wiki/AutoBAn se afirma que a AutoBan administra 310 km de estradas com fluxo médio de 290.000 veículos/dia. Digamos que os veículos percorram 1/3 das rodovias, nesse caso cada veículo pagaria 12 reais e geraria um lucro de 9 reais/dia. Assim podemos estimar o lucro anual da rodovia em . Logo e valor presente dessa renda seria de 9.5 bilhões de reais. Corrigindo esse valor pela inflação desde 1998, da ordem de 120%, espera-se que a venda tenha gerado uma receita da ordem de 4.3 bilhões de reais na época.

Taxa de desconto revelada. A taxa de desconto de cada pessoa é diferente. Algumas pessoas têm pressa de usufruir de um bem e aceitam taxas de desconto maior. Se eu pudesse esperar para comprar uma casa à vista eu poderia economizar uma quantidade todos os meses, aplicar esse dinheiro na taxa de juros do banco, e no final de períodos comprar a casa à vista. O problema é que não posso usufruir da casa durante esse período. Pode-se descobrir a taxa de desconto de uma pessoa oferecendo a ela um financiamento por um determinado bem e variando a taxa até atingir o limite em que a pessoa aceita o negócio. Um agente econômico aceita um financiamento se sua taxa de desconto pessoal for maior do que a taxa de desconto do financiamento.

Taxa Interna de Retorno [TIR] ou Internal Rate of Return [IRR]: é a taxa para a qual o Valor Presente de um fluxo de rendas é nulo. Obviamente, o VP só admite raízes se alguns fluxos forem negativos. Isso é comum em investimentos pois o investidor inicia seu negócio com gastos para usufruir de lucros, ou rendas, no futuro. A taxa interna de retorno deve ser calculada através da equação:

Nesse caso admite-se que alguns serão negativos.



Exemplo: Pagou-se por um título que renderá todos os anos por 30 anos. Neste caso a equação da TIR será , ou . Usando a PG temos , logo a equação da TIR é idêntica, nesse caso, a revelar a taxa de juros implícita em um financiamento:



Bond. Bond é um título com valor de face a ser pago na maturidade e com coupons a serem pagos em determinados períodos como percentual do valor de face. Os ingleses emitiram Bonds no mercado brasileiro para financiar a construção de um sistema de transporte coletivo sobre trilhos, que, desde então, passaram a se chamar BONDES. O valor presente de um BOND será dado por . A TIR de uma BOND depende de , o quanto se pagou por ela, através da equação: .

DURATION: A duration é definida por: . Note que a duration tem dimensão de tempo. Um título que paga apenas o valor no tempo , ou seja, tem uma duration .

Interpretações da Duration.

  1. Tempo médio ponderado pelo valor presente. O cálculo de uma média ponderada da grandeza por pesos é dado por: . Note que, mesmo que os pesos possuam dimensão, a dimensão de é a mesma de pois a dimensão da função peso do numerador cancela com a do denominador. Comparando com a definição da duration se percebe que e que .

  2. Sensibilidade do Valor Presente em relação ao log-retorno4. A sensibilidade de uma grandeza em relação a uma grandeza é definida por quanto a grandeza varia percentualmente quando se aumenta por uma unidade, ou seja: . Note que a taxa de juros é a sensibilidade do dinheiro em relação ao tempo, pois, . A questão relevante portanto é, de quanto varia o VP se à taxa de juros variar por ? Vamos usar a expressão para o VP. A sensibilidade do VP em relação ao log-retorno é dada por , o sinal – foi usado para o resultado final ser positivo. Usando o VP na forma , vemos que e que coincidindo com a definição da Duration. Nessa interpretação a DURATION é uma grandeza importante para gerenciamento de riscos de carteira. Mesmo títulos que paguem um valor predefinido, como BONDS, correm risco de variação de taxa de juros, pois o VP do mesmo depende dessa grandeza. Note que se então e logo, se todos os , a primeira derivada do VP é negativa enquanto a segunda derivada é positiva. Isso significa que o VP em função da taxa de juros é uma curva monotônica decrescente com concavidade para cima como mostra a figura 8. A sensibilidade do VP à taxa de juros é definida por enquanto a convexidade é dada por .


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