Nota: essas notas de aula estão em constante atualização após reformulações e correções. Fórmulas do capítulo



Baixar 1,35 Mb.
Página4/6
Encontro09.03.2017
Tamanho1,35 Mb.
1   2   3   4   5   6

Tabela PRICE. No sistema da tabela Price o acertado é que se deve abater a dívida em prestações idênticas de valor com uma dada taxa de retorno , usualmente anual. Dado calculamos imediatamente . Mas como a prestação usualmente será paga mensalmente precisaremos de , dado por . A questão é quanto deve ser o valor da prestação para quitar a dívida após períodos. No primeiro mês os juros incidem sobre o valor total . Mas no mês seguinte deve incidir sobre o que sobrou após o pagamento da prestação. Vamos construir uma tabela com os valores a cada momento.

Tempo

Dívida após pagamento

Dívida antes do pagamento

0





1





2





3











k












n






A dívida no instante , portanto, será dada por:



A somatória de uma progressão geométrica com n termos do tipo pode ser calculada com o truque do telescópio:





Daí se tira que e . Embora as duas formas e sejam idênticas tendemos a usar a primeira quando a razão q é maior do que 1 e a segunda quando ela é menor do que 1 para deixar denominador e numerador positivos.

Reanalizando a fórmula da dívida vemos que é uma PG com e , logo . Nesse caso a dívida após n períodos vale:. Mas o combinado foi de amortizar completamente a dívida em períodos, ou seja, devemos impor que , ou seja é a equação que nos permite calcular o valor da prestação que quita a dívida pela tabela Price. Note que as lojas só precisam apresentar a tabela com os valores de e multiplicar esse número pelo valor financiado para obter o valor da prestação. De posse do valor da prestação podemos agora calcular tudo, a dívida a cada momento, quanto se paga de juros e quanto se paga de amortização em cada período. A dívida no momento é dada por:



Ou seja. Note que se então e que se , então . No momento se paga juros sobre a dívida em , ou seja, os juros pagos em valem . O restante da prestação será usado na amortização da dívida: ou seja, . Com essas fórmulas podemos calcular tudo sobre financiamento pela tabela Price.

Taxa de juros oculta. Quando o consumidor chega em uma loja a taxa de juros não está explícita, mas sim a prestação. O problema é inverter a equação , na variável , sabendo . Mas essa é uma equação de grau para a qual encontrar as raízes pode ser muito complicado.

Juros do TROUXA. O trouxa faz a seguinte conta para calcular a taxa de juros: vai pagar prestações de valor , logo pagará . Daí calcula a taxa de juros do trouxa na forma , ou . O que ele esqueçe é que está pagando a dívida desde o início e os juros incidem sobre um valor cada vez menor. Na prática os juros reais são quase o dobro do juro dos trouxas.

Regra do POLEGAR. Uma regra do polegar são regras práticas para calcular rapidamente uma grandeza com um erro suficientemente pequeno. Uma regra prática pode ser obtida aproximando a função por uma reta. Vale lembrar que e que , logo . Então podemos aproximar a função de Z pela reta tangente que passa em , ou seja, . Para calcular precisamos do limite, que pode ser calculado por L´Hopital: .

A derivada será dada por:



.

Note que não podemos fazer diretamente na expressão porque teremos , sendo necessário encontrar o limite. Para achar esse limite aplicamos L´Hopital novamente:



Portanto e podemos aproximar a função:



.

Após essa aproximação fica fácil inverter a equação e encontrar de onde se tira que e, finalmente, que . Se é bastante grande então e . Na realidade teremos que .

Quão boa é a aproximação ? Figura 4 mostra a curva real e sua reta tangente.





Figura 4. Gráficos deem comparação com a reta tangente.

Para prestações o erro de 10% ocorre para o que significaria um juros imenso de 8% am. Para juros de até 2 % am o erro é de apenas 1%. Para valores menores de o erro é menor ainda. Apenas em financiamentos de carros e casa encontramos mais do que 20 prestações. Para , ou seja, 5 anos, o erro para um juro de 2% am, muito alto, é de apenas 6,7%. Ou seja, a aproximação pela reta tangente é bastante boa em quase todas as aplicações práticas, sobretudo se o objetivo é apenas estimar o juro embutido na transação rapidamente com apenas uma calculadora de 4 operações. A aproximação da reta tangente também pode ser usada para calcular rapidamente o valor da mensalidade através da fórmula do polegar .

Sistema de pagamento SAC [Sistema de Amortização Constante]. Nesse sistema o combinado é amortizar a dívida por um valor constante deixando a prestação variável. O acertado à priori então é que a dívida logo após o pagamento será dada por , uma reta que vale em e zero em . A amortização constante será sempre . O juros, novamente, incidem sobre a dívida no período anterior, ou seja, e o valor da prestação será a soma da amortização com o juros: . A primeira prestação do SAC será que é mais alta do que a prestação Price . Para mostrar que a primeira prestação SAC é maior do que a Price usamos: que leva a e ou o que é verdade por binômio de Newton. Por outro lado a última prestação SAC é menor do que a prestação Price. [Mostrar essa desigualdade].

Do caso discreto ao contínuo.

Considere o seguinte problema: sabendo que a taxa de retorno no intervalo será qual deve ser a forma para calcular o total a ser pago em um tempo qualquer, contínuo? Faremos isso usando o limite do caso discreto, quebrando o intervalo em intervalos e tomando o limite de tendendo a infinito. A taxa de retorno correspondente à taxa de juros no intervalo é e deve obedecer à equação . Agora podemos usar o fato de que para perceber que e e que r é justamente o log-retorno.2 Agora para saber o valor do investimento em qualquer tempo contínuo basta elevar . Se o valor inicial investido foi o valor do investimento em qualquer tempo será .

Exemplo 7. Crescimento exponencial. Qual é o crescimento de um investimento realizado com uma taxa constante? Precisamos então, resolver a equação diferencial , ou seja, que pode ser escrito como e, finalmente, . Um financiamento sem qualquer pagamento posterior leva à uma dívida explosiva, com crescimento exponencial. Qualquer crescimento à uma taxa constante leva ao crescimento exponencial – crescimento de populações, por exemplo, sem limitações, gera uma exponencial. Suponha que uma grandeza qualquer obedeça à funçaõ , onde é constante, então a taxa de crescimento de será .

Quando se inocula uma bactéria em um meio de cultura o crescimento inicial é o exponencial e é explosivo. Mas à medida que a população cresce demais ela exaure o alimento do meio de cultura, satura e eventualmente morre. Se existe um fluxo de alimentos constante sobreviverá apenas a população em equilíbrio com esse fluxo. O crescimento da humanidade foi durante muitos séculos limitado pela capacidade de alimentação, que crescia lentamente por dois motivos, um extensivo, aumento da área cultivada, e um intensivo, aumento da produtividade [devido às inovações] agrícola. A descoberta da américa no século XVI liberou uma enorme área de terras agriculturáveis e a população mundial cresceu além do que vinha crescendo. Malthus, no século XIX, previu uma catástrofe porque o crescimento populacional seria geométrico [exponencial] enquanto o crescimento da oferta de alimentos seria aritmético [linear] e eventualmente haveria alta mortalidade por fome. O fato foi que o crescimento da oferta de alimentos desde então não foi apenas geométrico mas acima do crescimento populacional. Na realidade, parece que é a falta de demanda por alimentos que limita a oferta e não o inverso. Demanda que é dada pela renda das pessoas e não pelo número de pessoas.



Exemplo 8. Pagamento de dívida contínua. O domínio do caso contínuo nos permite resolver outros problemas interessantes. Por exemplo, como seria a evolução de uma dívida à taxa constante mas com um fluxo de pagamentos ?

A equação para a evolução da dívida no momento é dada por . Note que fluxo de pagamentos deve ser multiplicado pelo intervalo de tempo para se transformar em estoque. Daí temos que ou seja . Essa equação diferencial pode ser resolvida usando o fator integrante.

Fator Integrante. Considere a equação diferencial. A idéia é multiplicar ambos os lados da equação diferencial por um fator integrante I(t) tal que . Ou seja:

,

logo , ou ainda, , que leva a e . Agora basta voltar à equação diferencial original para achar a solução do tipo . Resolvendo a integral temos que se torna e leva ao resultado final:

.

Dentro da suposição de tabela Price, no entanto, o será constante. Nesse caso , a qual, integrando em ambos os lados, se torna: logo . Essa equação também pode ser resolvida através do fator integrante da equação dado por . Nesse caso e , logo. No caso em que então, ou seja, reobtemos:

.

A dívida se anula quando , ou seja, para , no tempo . Se sabemos que em a dívida se anula então o fluxo de pagamentos constante deve ser de . Agora então que seria idêntico ao fluxo da tabela Price se . Para sabemos que e é uma excelente aproximação.

Exemplo 9. Dívida Pública. A capacidade de pagamento de uma empresa, ou país, depende da dívida e da renda [faturamento no caso de empresas e PIB no caso de países]. Ou seja a grandeza que interessa é a razão dívida/renda. No caso da dívida pública a questão que se coloca é de quanto deve ser o superávit primário para manter constante a razão dívida/PIB? Vamos usar D para dívida e Y [Yield do inglês] para PIB.



Agora, é a taxa de crescimento do PIB e onde r = taxa de juros da dívida e S = superávit primário. Dessa forma: . Isso pode ser escrito como:



onde , a dívida como percentual do PIB e , o superávit primário como fração do PIB. Para manter constante a razão dívida/PIB portanto, é necessário que , ou seja, o governo precisa manter um superávit tal que , apenas para manter a dívida fixa como fração do PIB. Por volta de 1998 quando , e era necessário um superávit primário de do PIB para manter a dívida/PIB constante. O tem que ser a taxa de juros real, descontada da inflação, pois o governo se beneficia da inflação [os impostos são coletados como fração dos preços nominais]. Esse é um superávit enorme para o governo. Na época a arrecadação total do ESTADO [todas as esferas de governo, do municipal ao federal] era da ordem de 33% do PIB. Ou seja, o governo precisaria economizar praticamente 1/5 [~20%] de sua renda para manter a razão dívida/PIB. Uma economia de 20% da renda é bastante alta.

Hoje os juros estão em 12 % e a inflação em 6,5% o que dá r = 5,5%, menor do que crescimento do PIB [~6%] - logo mesmo um superávit nulo não faz crescer a razão D/Y. A razão dívida/PIB caiu de 50% para 40%. Assim, mesmo com taxas de juros de 15% aa, e inflação de 7% aa, logo r = 8% aa, e um crescimento de 5%, então bastaria um superávit de do PIB. Com superávits maiores se pode abater a dívida/PIB. Situação muito mais confortável. No primeiro mandato do Lula a ordem foi de conseguir um superávit primário em torno de 4% do PIB.



Exemplo 10. Dívida pública considerando emissão primária de moeda. O modelo pode ser mais sofisticado descontando a emissão primária de moeda - quando o PIB cresce mais moeda é necessária. A autoridade que emite a moeda tem o poder de seignoriage, ou seja, ela simplesmente não entrega a moeda para o mercado a troco de nada, mas sim comprando bens e serviços ou abatendo a dívida. Crescimento do PIB é um excelente remédio para abatimento de dívidas.

No modelo incluindo a moeda temos que:



ou , que no limite de leva a , onde é o índice de preços, deixando em aberto a possibilidade da emissão de moeda causar inflação, detectada por . Note que o poder de compra de uma quantidade de moeda é dada por M/p. A quantidade chama-se receita de seignoriage do emissor da moeda. Então . Substituindo isso na equação , Temos que . Suponha que o governo pode emitir uma quantidade de moeda sem gerar inflação segundo a regra , ou seja, se o PIB cresce é necessário proporcionalmente mais moeda. Nesse caso e , com p constante, i.e., inflação zero. A equação então muda para .
1   2   3   4   5   6


©bemvin.org 2016
enviar mensagem

    Página principal