Nota: essas notas de aula estão em constante atualização após reformulações e correções. Fórmulas do capítulo



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Figura 2. Analogia hidráulica entre estoques e fluxos.

Relação entre estoques [] e fluxos []:



Note então que o fluxo é a derivada temporal do estoque e o estoque a integral do fluxo ao longo do tempo. Se , o patrimônio cresce. Já se , o patrimônio diminui – está dilapidando o patrimônio – comum em quem vive de rendas, ou gasta mais do que sua renda.



Note-se que tem dimensão de tempo, enquanto a razão tem dimensão de . O patrimônio de uma empresa dividido pelo seu faturamento é um bom indicador do tempo de giro do capital da empresa. Se anos trata-se de uma firma PESADA, demora mais do que 3 anos para recuperar o patrimônio. Hoje existem empresas com baixíssimos tempos de giro, tipo empresas de serviços de computação, em que os donos quase que entram apenas com trabalho e alguns computadores em uma casa alugada. Já uma hidrelétrica é o exemplo de uma empresa pesada. O tempo para recuperar o capital inicial é de décadas.

Exemplo 2. Velocidade-Renda da Moeda.

Sabendo que PIB é fluxo qual o significado de . Fluxo dividido por estoque tem dimensão de , e isso é chamado de velocidade-renda da moeda. Se a quantidade de moeda em um país é proporcional ao PIB na forma , onde é uma fração, então , mede quantas vezes uma mesma moeda circula na economia no período [1 ano]. Para esse cálculo usa-se M = base monetária + depósitos à vista.

Valores típicos: , que foi o caso do Brasil na época de alta inflação, então . Naquela época a estratégia era gastar logo todo o dinheiro em mãos, antes que a inflação o desvalorizasse completamente. Nos EUA sem inflação mantém-se a moeda em mãos por mais tempo e com .

Exemplo 3. Dívida pública justa: o governo deve financiar a construção de uma hidrelétrica ou construí-la com o imposto arrecado durante a construção? Uma hidrelétrica pode operar por mais de 100 anos e trará benefícios a várias gerações. Se o governo financiar a obra as gerações futuras também pagarão pela construção da qual também se beneficiarão. Se usar a arrecadação corrente a geração futura não pagará nada enquanto a geração presente pagou um custo enorme do qual se beneficiará de apenas uma parcela, durante o seu tempo de vida. Logo não foi justo com a geração atual. O certo seria financiar obras de longo prazo para dividir os custos entre as gerações. Agora vejamos outro caso: o governo não consegue arcar com seus gastos correntes, para pagar funcionários públicos, por exemplo. Deveria financiar sua dívida? Nesse caso estaria repassando para gerações futuras um gasto que beneficiou apenas a geração presente. Também não é justo. A regra do polegar que se aplica nesse caso é: tempo de financiamento da obra = tempo de depreciação da mesma.

Exemplo 4. Pedágio e as estradas de São Paulo. A construção de uma estrada é uma obra típica de longo prazo, que perdura por centenas de anos, com manutenção adequada. Toda a população de uma região é beneficiada pela presença da estrada, de uma forma ou de outra, mesmo que não a utilize diretamente, pois transporte de mercadorias circulam pelas estradas. Por isso, a construção da estrada em si deveria ser financiada e paga através de impostos por várias gerações. A diferença entre um IMPOSTO e uma TAXA [no sentido fiscal] é que o imposto é pago por todos os cidadãos e a taxa apenas pelos que utilizam determinados serviços públicos. Nesse caso o pedágio é uma taxa e não um imposto, pois é pago apenas por quem utiliza a rodovia.

O que seria justo cobrar de taxa nesse caso? A construção da estrada? Ou seja, todo o estoque embutido na estrada? Não, porque não é justo que os usuários atuais paguem por toda a construção da estrada que será utilizada por várias gerações e que beneficia também indiretamente toda a população da região. O justo é cobrar a manutenção da estrada, que é um fluxo, o custo de manter a estrada por unidade de tempo. Também não seria justo cobrar essa despesa da população que não utiliza a estrada. Esse custo será de alguma forma repassado ao restante da população através do preço dos transportes que se refletirão nos preços da mercadorias.

Porque o pedágio nas estradas paulistas é tão caro? Porque quando o governo paulista privatizou ele assegurou um valor de pedágio acima do custo de manutenção e que elevou o valor da venda da estrada. Usou o argumento de que usou o o dinheiro arrecado na venda das estradas para construir outras estradas que benificiaram o estado inteiro, o que é verdadeiro. Entretanto, quem pagou pela construção das novas estradas? O usuário atual da estradas privatizadas, e apenas eles, arcaram com o custo de construção de outras estradas [que esse usuário pode nem sequer utilizar]. Esse custo deveria ser pago por toda a população do estado e por mais de uma geração. Seria possível estimar o pedágio justo que cobraria apenas a manutenção da estrada e não o custo de capital da mesma?

O pedágio da Fernão Dias é muito menor do que o pedágio da Bandeirantes. O sistema de privatização da Fernão Dias não procurou otmizar o ganho do governo, mas minimizar o custo para o usuário. Nenhuma empresa aceitaria um custo abaixo do custo de manutenção da estrada, pois teria prejuízos. Sabendo a comprimento da estrada e o tráfico [fluxo de carros] é possível estimar a ordem de grandeza do custo de manutenção de uma estrada por km. Com isso poderíamos comparar com o pedágio cobrado em São Paulo e saber o quanto ele é superior ao custo de manutenção da estrada. Existe um pedágio apenas de 1,50 reais entre Atibaia e a Dutra em São Paulo, uma distância da ordem de 50 km. Já entre Campinas e São Paulo pela Bandeirantes existem dois pedágios de 6 reais para uma distância de 100 km. Se o fluxo for o mesmo, e acredito que o fluxo da bandeirantes é bem maior, o pedágio da Bandeirantes é da ordem de 5 vezes mais caro do que o da Fernão Dias. Ou seja de cada 10 reais pagos na Bandeirantes 2 seriam gastos na manutenção e lucro da empresa concessionária e os outros 8 foram entregues antecipadamente ao governo do estado para construção de estradas ou abatimento de dívidas. Por isso temos, sim, o direito de protestar contra os pedágios das estradas paulistas – a despeito de excelente qualidade das mesmas. Um parcela apenas da população está arcando com um custo que deveria ser distribuído com todos e no tempo.



Taxas, Retorno e log-retorno.

Suponha que alguém entrou em um investimento com que se tornou no tempo . O retorno do investidor nesse período foi de mas a taxa de retorno foi de . Nesse caso . Note que retorno acima não tem dimensão e será dado em %. Um retorno de 100 % é bom ou ruim? Depende, se for em um ano é excelente, se for em 10 anos é péssimo. Ou seja, o intervalo de tempo importa sim e a taxa de retorno vai levar esse intervalo de tempo em consideração. Agora suponha que o intervalo de tempo seja de uma unidade [usualmente de 1 ano, ou 1 mês, dependendo do caso]. Nesse caso e . Também é comum se escrever o retorno da seguinte forma: . Aqui fica explícito que o intervalo de tempo vale um, mas em que unidade é que não se costuma dizer. No mercado financeiro pode ser de um dia, em outros casos de um mês ou um ano. Sempre é bom expressar em retornos anuais para permitir comparações com diferentes investimentos. Se o período for de um ano então . Se for de um mês . A unidade ao ano [aa] tem a dimensão de 1/ano.

Juros simples e juros compostos:

Suponha que o retorno [taxa de retorno com ] de uma aplicação seja R e se investiu em t = 0. Qual o patrimônio em t = 1? Qual o patrimônio em t = n. [1 aqui significa um período e n significa n períodos].



No final de um período o investidor deve recuperar o investimento inicial mais o retorno sobre o mesmo, ou seja, . A quantidade será tão importante que é melhor dar um nome para a mesma. Vamos chamá-la de Z, onde . Assim .

Se alguém tomou emprestado na taxa no momento seguinte deve , ou seja, o principal mais os juros . O que ocorre no momento seguinte? Pelo regra do juro simples ele deveria pagar , ou seja, o principal mais os juros . Entretanto, considerando que após um período ele deve , ele deveria pagar . Note que , ou seja, o termo a corresponde ao juro simples, enquanto o termo corresponde ao juros sobre o juros, ou seja, juros compostos. A regra geral diferenciando juros simples dos juros compostos após n períodos é:

Juros simples:

Juros compostos:

Para um tempo contínuo teríamos:

Juros simples:

Juros compostos:



Quem é maior, ou com ? Note que para , e para , . A curva é uma reta com coeficiente angular constante . Se as duas funções coincidem nesses dois pontos é porque o comportamento das mesmas será do tipo:



Figura 3. Curvas de juros compostos e de juros simples . Note que Juros compostos são menores do que os simples para e maiores para .

Nesse caso se percebe que e que . Para inteiro e maior do que 1 podemos usar binômio de Newton para mostrar que os juros compostos serão superiores aos juros simples, pois . Como todos os termos adicionais são positivos . A desigualdade é válida e a igualdade só vale para ou .

A necessidade dos juros compostos significa que o crescimento de uma dívida é uma operação MULTIPLICATIVA em lugar de uma operação ADITIVA. O valor investido por períodos na taxa de retorno R se transformará em .



Exemplo 5. O anatocismo e as conseqüências do anti-anatocismo:

O sistema judicial brasileiro quer proibir os juros compostos.

O Decreto 22.626/33 (Lei de Usura) em seu artigo 4º proibiu o anatocismo, a contagem de juros sobre juros, o que já fazia o artigo 253 do Código Comercial (veda que se conte juros sobre juros, exceto na hipótese de acumulação de juros vencidos aos saldos líquido em conta corrente de ano e ano).
Consigne-se que a já no Resp 1285/SP, .. tem relação com o anatocismo, com efeito, a vedação à capitalização mensal de juros não se aplicaria às Instituiçoes Financeiras, desde que a exceção fosse expressamente prevista em lei:
- Somente nas hipóteses em que expressamente autorizada por leis especiais a capitalização mensal dos juros se mostra admissível. Nos demais casos é vedada, mesmo quando pactuada, não tendo sido revogado pela Lei nº 4.545/64 o art. 4º do Decreto nº 22.626/33. Dessa proibição não se acham excluídas as instituições financeiras.

Vamos agora explorar as conseqüências de uma lei anti-anatocismo.



ARBITRAGEM - LUCRO SEM RISCO: ARBITRAGEM é uma operação financeira em que um agente pode auferir lucro sem correr riscos e sem entrar com capital próprio. A arbitragem é um negócio tão bom, que não haveria limites para ela. Como o arbitrador não usa capital próprio, seu único limite é o limite de crédito. Mesmo que cada arbitrador tenha um limite de crédito nada impede que o número de arbitradores se torne gigantesco. Como a operação causa prejuízo a alguém, dentro de pouco tempo o prejudicado quebraria. Isso é tão forte que lucro de operações de arbitragem devem ser nulos se tornou quase uma lei [no sentido de lei científica]. Muitos modelos de precificação utilizam a suposição de que o mercado não permite arbitragem. Por exemplo, um desses modelos é o APT [Arbitrage Pricing Theory]. A suposição básica sobre mercados eficientes é de que o lucro de operações de arbitragem são NULOS.

O anatocismo e a ARBITRAGEM

Suponha que exista uma lei contrária à taxa de juros composta e que o mercado só possa cobrar juros simples. Isso abre oportunidade para a seguinte operação de arbitragem:

1. Toma emprestado por dois períodos. Terá que pagar no final dos dois períodos, pela regra legal do juros simples.

2. Empresta por um período e recebe no final do mesmo, absolutamente dentro da lei.



3. Reempresta todo o pelo período seguinte pelo qual receberá , também dentro da lei.

4. No final dos dois períodos o arbitrador receberá mas deve apagar apenas , logo teve um lucro de . Como não há limites para o lucro pode ser absurdamente alto.

Dessa forma a lei anti-anatocismo abriu espaço para operações de arbitragem extremamente nocivas para a economia. Além disso, é impossível para o legislador impedir a utilização dos juros compostos. Suponha que ele queria que a dívida no final de n períodos fosse dada pela equação do juro simples: . Mas vamos analisar o que aconteceria do lado do investidor no caso em que uma lei dessas fosse válida. Ele só concederia empréstimo por um período. No final do primeiro período teria . Daí ele empresta para outra pessoa no período seguinte, ao final do qual teria . Repete o procedimento com uma terceira pessoa, ou volta para a primeira, e no terceiro período teria . No final de n períodos teria em lugar de . Ou seja, no caso de validade de uma lei como a proposta não haveria empréstimos de longo prazo, só de curto. Ficou valendo a regra dos juros compostos em lugar dos juros simples.

Anti-anatocismo é contra a lei das probabilidades. Suponha que a probabilidade do credor morrer em um período seja. Se ele morrer não poderá auferir do seu investimento. A probabilidade de estar vivo será dada por . Simplesmente para cancelar a chance de não auferir seu lucro o credor deve cobrar , ou seja, . Para um período não há diferença entre juros simples e compostos, que aparece sempre para mais de um período. A probabilidade de estar vivo por dois períodos é dada pela multiplicação das probabilidade de sobreviver em cada período, ou seja, , é composta, e não simples. As leis da probabilidade independem das leis do judiciário, nenhum juiz pode revogá-las. Nesse caso o credor precisaria cobrar de juros para ter a chance de auferir seu lucro sobre seu investimento em 2 períodos.

Mudança de período. Suponha que o período de seja de um mês, queremos saber qual a taxa anual. Note que queremos uma taxa equivalente, que no final do período leve ao mesmo valor do patrimônio nos dois casos. Ou seja: , ou . Nesse caso: ou . No problema inverso sabemos a taxa anual e desejamos a mensal: .

Suponha que alguém tomou emprestado na taxa R para pagar após um ano mas mas decidiu quitar a dívida antes, no késimo mês. Quanto deve pagar? O emprestador deve pagar , mas , então ele deve pagar .

Exemplo 6. O anatocismo e quitação adiantada de uma dívida. Suponha que um devedor tem uma dívida a ser paga em um período, por exemplo, 1 ano, e deseja quitá-la antecipadamente em . Nesse caso a regra do juros simples é contra o devedor e a favor dos bancos, pois . Os bancos tenderiam a estabelecer as taxas de juros no prazo mais dilatado possível. A operação de arbitragem continuaria sendo possível de qualquer forma, trocando apenas as operações de compra por venda e vice-versa.

Retornos variáveis: suponha que em a taxa era , em mudou para , e assim por diante até a taxa no período . Foram períodos no total pois começamos de zero. Qual o valor do investimento ao final dos períodos?



Qual foi a taxa média, ou seja, a taxa constante durante os n períodos que levaria ao mesmo valor final? Nesse caso temos que e . Essa é a famosa média geométrica que desperta ódio quando utilizada para estabelecer uma nota final. Note que a média geométrica é sempre inferior à média aritmética, ou seja,. A desigualdade pode ser facilmente desmontrada. Se N´s são todos positivos então, logo , ou ainda, e, finalmente, , o que é sempre verdadeiro.

Exercício para o leitor: mostre que .



No mercado financeiro é comum se usar dias em lugar de meses ou anos. Para piorar ainda mais o mercado só opera em dias úteis e não dias corridos. A regra do polegar é : 1 ano = 365 dias corridos = 252 dias úteis, após retirar os fins de semana e os feriados. Caso mais precisão seja necessária é preciso descontar os fins de semana e os feriados entre os dois momentos desejados. O Excel tem uma rotina para calcular os dias úteis entre duas datas mas deve ser calculada para cada país, pois os feriados variam. Como transformar a taxa de retorno anual para a diária, em dias corridos ou dias úteis? É simples, basta usar ou . Assim um emprestador que tomou dinheiro emprestado na taxa Ranual e resolveu pagar após n dias úteis deve pagar o total de . Após n dias corridos .

Retorno no mercado de ações. Suponha que alguém comprou uma ação por em , o preço da ação variou para no dia seguinte, no outro dia, e assim sucessivamente até . No primeiro dia obteve um retorno de . O Z desse retorno vale . O Ztotal nos períodos será: . Agora vamos decompor esse Z da seguinte forma . Isso significa que onde . Ou seja, basta multiplicar os Z´s de cada período unitário para se obter o Z de um intervalo de tempo dado.

O log-retorno: como vimos o mundo do crescimento exponencial do mercado financeiro é multiplicativo e não aditivo. A operação multiplicação sempre foi muito mais custosa em termos de tempo de cálculo do que a operação adição, por isso, os matemáticos antigos recorriam às regras da prostaférese. A idéia sempre foi transformar uma multiplicação em uma adição utilizando tabelas de funções conhecidas. Eram comuns a utilização de tabelas trigonométricas de senos e cosenos, bem conhecidas com boa precisão.

Note que: então somando as duas equações se obtém:



. Como multiplicar x por y? Fazendo encontra-se pela tabela dos senos. Da mesma forma fazendo encontra-se pela tabela dos cosenos. Daí calcula-se rapidamente e , e, pela tabela dos senos, e usando a regra da prostaférese para encontrar x vezes y. Parece um procedimento lento mas era mais rápido do que efetuar a multiplicação direta.

Acontece que a melhor função para transformar uma multiplicação em adição é o logarítmo, pois , em qualquer base1. Vamos usar o logaritmo neperiano, na base , para transformar a multiplicação do mercado financeiro em uma operação de adição. Aplicando o Ln de ambos os lados da identidade temos que . Definimos o log-retorno, então, através de . Para voltar ao retorno usamos . O log-retorno composto será dado por: .

Mudança de período no log-retorno. Após n períodos , aplicando o logaritmo de ambos os lados, obtemos: , ou seja, . Enquanto o Zmédio é dado por uma média geométrica o log-retorno médio é dado pela média aritmética, pois ou seja, .

Pagando um dívida.

Richard Price [1723 – 1791] apresentou o método, hoje conhecido como sistema Price, ou tabela de Price, em 1771 no livro “Observations on Reversionary Payments”. Era amigo de Thomas Bayes e foi o editor da famosa obra póstuma de Bayes “An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances” que estabelece o teorema de Bayes.




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