Matematicamente



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POTI - Pirassununga - Departamento de Ciências Básicas, FZEA-USP

Combinatória - Aula 02 - 1º Semestre - 2017

Atílio Leitão Pellegrino

Problemas

1) Determine quantos anagramas podem ser formados com as palavras:

a) “TEOREMA”

b) “MATEMATICAMENTE”

c) “QUADRADOS”

d) “COMBINATORIA”

2) Considerando a palavra MATRIZ, determine o número de anagramas que:

a) começam por MA.

b) tenham as letras M e A juntas, nessa ordem.

c) tenhas as letras M e A juntas.

3) Um país tem 20 cidades e cada par de cidades está conectado por uma rota aérea. Quantas rotas aéreas existem?

4) Quantas diagonais têm um polígono convexo de n lados?

5) Um “colar” consiste em um fio circular com diversas contas presas nele. É permitido girar o colar, mas não virá-lo de cabeça para baixo. Quantos colares diferentes podem ser feitos com 13 contas diferentes?



6) Suponha que agora é permitido virar o colar de cabeça para baixo. Quantos colares diferentes podem ser feitos com 13 contas diferentes?

7) De quantas maneiras 6 pessoas podem se sentarem torno de uma mesa circular?
8) Em uma brincadeira em um programa de TV, 6 casais devem se sentar em bancos arrumados de modo circular com a seguinte restrição: homens e mulheres devem se sentar de modo alternado, cada homem ao lado apenas de mulheres e vice-versa. De quantas maneiras esses casais podem se arrumar para a brincadeira?
9) De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar um roda com as crianças dos mesmo sexo todas juntas?
10) Quantos números com seis algarismos têm pelo menos um algarismo par?

11) Existem seis letras na linguagem hermitiana. Uma palavra é qualquer sequência de seis letras, com algum par delas sendo iguais. Quantas palavras existem na linguagem hermitiana?

12) Quatro garotos jogam tiro ao alvo. Cada um deles atirou três vezes. No alvo ao lado, pode-se ver os lugares atingidos. A pontuação é 6 para o centro e diminui um ponto para cada nível mais distante.

Se os quatro garotos empataram, determine:



(a) a pontuação total de cada jogador.

(b) a pontuação dos três tiros de cada jogador.

13) (PUC - PR) Dos anagramas da palavra CASTELO, quantos têm as vogais em ordem alfabética e juntas?

14) (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

15) (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família SOUZA, o casal L_UCIA e MAURO e mais quatro pessoas. Além disso, a família SOUZA quer ocupar um mesmo banco e LÚCIA e MAURO querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, qual é o número de maneiras de se dispor as nove pessoas na lotação?

16) (UFRJ) Uma partícula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1cm para a esquerda ou para a direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos terminados na posição de partida.

17) (OBMEP 2013) Ana quer fazer duas aulas de natação por semana, uma de manhã e a outra à tarde. A escola de natação tem aulas de segunda a sábado às 9h, 10h e 11h e de segunda a sexta às 17h e 18h. De quantas maneiras distintas Ana pode escolher o seu horário semanal, de modo que ela não tenha suas aulas no mesmo dia nem em dias consecutivos?

18) (OBMEP 2014) Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5?

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PERMUTAÇÃO SIMPLES: Dados n objetos distintos { a1, a2, ..., an}, podemos ordená-los de n . ( n-1) . ... . 1 = n! modos.

PERMUTAÇÃO CIRCULAR: Dados n objetos distintos { a1, a2, ..., an}, podemos ordená-los, de modo circular, de maneiras.

COMBINAÇÃO SIMPLES: De modo geral, o número de modos de escolher p dentre n objetos é representado por Cn,p, e é igual a .

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Bibliografia:

Círculos Matemáticos. A Experiência Russa. Dmitri Fomin, Sergey Genkin e Ilia Itenberg.

http://matematica.obmep.org.br/

Polos Olímpicos de Treinamento - Curso de Combinatória - Nível 2 - Prof. Bruno Holanda



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