Última atualização 07/08/2006 o início da teoria das matrizes remonta um artigo



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                                                           Última atualização 07/08/2006 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

O início  da  teoria  das matrizes remonta um artigo 



de Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo Cayley 

fez questão de salientar que, embora logicamente a 

idéia de matriz preceda a de determinante

historicamente ocorreu o contrário: de fato, os 

determinantes já eram usados há muito na resolução 

de sistemas lineares

(Hygino H. Domingues) 

A teoria dos determinantes teve origem em meados 

do século XVIII, quando eram estudados processos 

para resolução de sistemas lineares. Hoje em dia, 

embora não sejam um instrumento prático para 

resolução de sistemas, os determinantes são 

utilizados, por exemplo, para sintetizar certas 

expressões matemáticas complicadas. (

Gelson Iezzi & 

Samuel Hazzan) 



ÁREA1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 

Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação  

Disciplina: Álgebra Linear 

Professor(a): _____________________________ Data _____ / _____ / _____ 

Aluno(a): ___________________________________________ Turma______ 

1

a

. Lista de Exercícios 

 


 

         Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 

 

 



 

 

 



 2 

Questão 1.  

 

Questão 2.  

 

Questão 3.  

 

Questão 4.

 

Questão 5.

 

Questão 6.

 

Questão 7.

 

Questão 8.

 

Questão 9.

 

Considere as matrizes 



( )

A

a

ij

x

=

2 2



, tal que 

a

i

j i

j

i

j

ij

=

+



=





,



,

  

  



0

 e 


( )

B

b

ij

x

=

2 2



, tal que 

b

i

j

ij

= −


2

3

.          



Determine 

A B

+



 

 

Determine o produto



x y

.

 para que se tenha 

1

2

18



4

1

1



3

4

x



y

x

y

y

x

+





 =



+







 

 

 Considere as seguintes matrizes:  



 

4

3



2

1











=

A











=

7

6



0

5

B

 , 











=

5

6



2

4

3



1

 C

 , 

 

4



3

2

1











=

D

 











=

11

6



4

5

E

 

 



a)  Determine 

B

2

5



 e  

B

3

2

+



b)  Determine 



AA

A

2

=

  e  AC



c)  Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE = ED) A e B não comutam (isto é, AB 

 BA).   

 

Determine, se possível, 



x

∈ℜ

 para que a matriz 









+



0

x

1

x

x

4

0

x

1

x

2

0

3

2

 seja:  


a) simétrica.       

 

 



 

 

b) anti-simétrica. 



 

 

 Seja 











=

6

3



2

1

A

.  Ache uma matriz 

( )


3

x

2

ij

b

B

=

, com todos os elementos distintos, tal que 



0

=

AB

(observe que 



0

=

AB

 não implica 

0

0



=

=

B



ou

A

). 


 

Considere 



A

=











2



1

1

3



4

3

5



5

4

. Mostre que 



A

 é idempotente, isto é, que 



A

A

=

2



 

Considere 



B

=











1



1

1

3



3

3

4



4

4

. Mostre que B é nilpotente, isto é, que 



0

=

n



B

 para algum inteiro 

2



n



 

 Sejam 











=











=



1



2

0

1

B

1

0

3

1

A

1

 

e



 

. Determine, se possível, a matriz X  tal que 

(

) ( )


1

1

1

t

B

X

.

A



=



 

 Sejam 










=











=













=

8

4

4

1

C

1

2

B

5

3

2

1

A

  

e



  

 ,

 



. Determine,  se possível,  a  matriz  X     tal que 

C

X

.

B

A

=

+





 

         Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 

 

 



 

 

 



 3 

Questão 11.

 

Questão 12.

 

Questão 13.

 

Questão 14.

 

Questão 10.

 

Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: 



 

a) 




=



+

+

=



+

+

=



+

4



3

4

5



1

2

2



3

10

2



2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

  

 



b) 





=

+

+



=

+



=

+



0

3

4



0

3

2



0

2

z



y

x

z

y

x

z

y

x

   


 

c) 






=



=

+



+



=



+



=

+



3

3



3

1

4



2

2

2



2

2

1



2

w

x

w

z

y

x

w

z

y

x

w

z

y

x

 

d) 





=



+

=



+

=



+

+

5



7

7

3



2

5

2



4

z

y

x

z

y

x

z

y

x

  

 



e) 



=

+



+

=

+



0

6



5

2

0



3

2

z



y

x

z

y

x

  

 



f) 





=



+

+



=

+



+

=



+

+



=

+

+



+

2

4



4

0

t



z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

 

 



Considere a matriz 

( )


A

a

ij

x

=

3 3

, tal que 

a

i

j i

j

i

j i

j

j i i

j

ij

=

+



<

=



>







,

,

,

 

 



 

2

. Determine X na equação  AX



B

= ,       

onde 

B

=











2

2

2

 



Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares: 

 

a) 





=



=



=

+



k

y

x

2

0

y

4

x

5

2

y

3

x

4

 b) 




=



+

+

=



+

=





0

z

y

x

2

z

y

kx

1

kz

y

2

x

:

S

 c) 




=



+

+

=



+

+

=



+



0



kz

y

0

x

2

0

z

y

x

0

z

2

y

5

x

2

 

 



 

Calcule o determinante das matrizes abaixo: 

 

a) 


3

1

4



2





 b) 



1 3

4

5 2



3

1 4


2









 

c) 












1

4



6

0

2



5

0

0



3

 

d) 



1 3 2 0

3 1 0 2


2 3 0 1

0 2 1 3










 

e) 


0

1

0 1 0 0



0

1

0



a b

a a

b

b a









 

f) 



1 2 3 4 5

0

1 2 3



0 0

1 2


0 0 0

1

0 0 0 0



a

b

c

d











 



 

 

Resolva os seguintes sistemas pela regra de 



Cramer

 



a) 





=

+

+



=

+



+

=

+



+

1

2



5

3

1



2

4

2



2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

b) 





=



+

+

=



+

=



+

0

z

y

x

0

z

2

y

2

0

z

y

3

x

 

c) 





=



+

=



+

+

=



+

1



3

1

2



0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

d) 











=























4

11

14



32

4

1



2

1

1



3

1

1



9

7

1



2

1

2



4

1

d



c

b

a

 


 

         Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 

 

 



 

 

 



 4 

Questão 15.

 

Questão 16.

 

Questão 17.

 

Questão 18.

 

Usando 


operações elementares

 sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em   

 

caso afirmativo, determine a sua inversa. 



 

a) 


A

=





1 3



2 7

 

b) 



B

=









2



5

1

4



1

2

0



4

1

 c) 



C

=











1

1

2



3

2

4



0

1

2



 

 

Resolva o sistema 





=



+

=

+



+

=

+



+

17

8



3

3

5



2

5

3



2

z

x

z

y

x

z

y

x

, usando inversão de matrizes. 

 

 

Determine a corrente elétrica em cada um dos trechos indicados nos circuitos ilustrados a seguir: 



 

a)  


 

b)  


       

 

 



 

 Deseja-se construir um circuito como o mostrado na figura: 

 

 

 



Dispõe-se de uma tabela de preços de vários tipos de resistências; assim como as correntes máximas que elas suportam sem 

queimar. 

 Resistências 

 

 



=

1

R

20



 



=

2

R

30



 



=

3

R

50



 



=

4

R

40



 



=

5

R

100



 



 

0,5 


A  $10,00 $10,00 $15,00 $15,00 $20,00 

Corrente 

1,0 

A  $15,00 $20,00 $15,00 $15,00 $25,00 



máxima 

3,0 


A  $20,00 $22,00 $20,00 $20,00 $28,00 

 

5,0 



A  $30,00 $30,00 $34,00 $34,00 $37,00 

 

Que tipo devemos escolher as resistências para que o circuito funcione com segurança e a sua fabricação seja a de 



menor 

custo possível

? Qual é esse custo mínimo? 

 


 

         Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 

 

 



 

 

 



 5 

Questão 19.

 

Questão 20.

 

Numa 


equação química balanceada

 o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos. 

Por exemplo, 

O

H

2

O

H

2

2

2

2

+



. Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por 

tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em 

cada caso a seguir

encontre

 a equação química balanceada (



mínima

). 


 

(a)

 

O



H

N

O

NH

2

2

2

3

+



+



 



(b)

 

2



2

2

11

5

CO

O

H

O

OH

H

C

+



+

 

 



(c)

 

O



H

CO

O

H

C

2

2

2

10

4

+



+

 



Observação. 

amônia

NH

3

=



oxigênio

O

2

=



nitrogênio

N

2

=



água

O

H

2

=

,



carbono

de

dióxido

CO

2

 

 



=



e



cos

gli

O

H

C

6

12

6

=

 e 



o

tan

bu

gás

H

C

10

4

 

=



 

Análise de redes. 

Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando 

e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo: 

 

Com estas considerações, determine os possíveis fluxos da rede de encanamento de água mostrado na figura a seguir, onde o 



fluxo é medido em litros por minuto. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 





10



20



10

5



4



f



30



A

B

C

D



3



f



1



f



5



2

f



15



20

15

f

f

2

1

+

=



+

20



1

f



2



f

 

         Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes 

 

 



 

 

 



 6 

 

Q1..  

 

1

4



1

2







 

Q2..

      10 



Q3.   

    


a)

 











5



10

27

34



17

4

12 13



 e 

 

b)

 

7

6



9 22

5

9



6

5

33 32













 e 



 

Q4..     

a)

  

x

= 0

 

b)

 

x

= −2

 

Q5



.

      


B

=







2



4

6

1



2

3

.  Existem outras. 



Q8

.   

  

2



x

2

1

5

0

1











          



Q9

.     

(

)



2

x

1

3

1

 

Q10



.

   


a)

 

(



)

(

)



x y z

, ,

, ,

=



1 2 3

 

b)

 

(

)



R



α

α

α



α

;

,



,

                  



c)

 

(



)

R



β

α

α



β

β

α



,

;

,



,

2

,



1

 

 



 

   


d)

 não existe solução. 

        

e)

 

R



α



α

α

);



,

0

,



3

(

 



         

f)

 

(



)

(

)



x y z t

, , ,

, , ,

= −


1 1 2 2


                    

 

Q11

.   









=

1



1

1

X

 

 

Q12

.  a)

 Se 


k

≠ −6


 o sistema é impossível; 

 

      Se 



k

= −6


 o sistema é possível determinado. 

 

 



  

b)

 Se 


0

k

=

 o sistema é impossível; 



 

      Se 



1

k

e

0

k



 o sistema é possível determinado

  

 



Se 

1

k

=

 o sistema é possível indeterminado. 



 

 

  



c)

 Se 


k

= 2


 o sistema é possível indeterminado; 

 

      Se 



k

≠ 2


 o sistema é possível determinado. 

 

Q13.

   

a)

 

10



 

       


b)

 

49



             

c)

 

− 6



 

d)

 48 


e)

 a

2

 + b

2

 

  



f)

 abcd 

 

Q14.

   

a)

 

(



)

(

)



x y z

, ,

, ,

= − −


5 2 2

      


b)

 

(



)

(

)



x y z

, ,

, ,

= 0 0 0


        

c)

 

(



)

(

)



x y z

, ,

,

,

= 1 4 1 8 3 8

     

d) 

(

) (



)

1

,

3

,

8

,

5

d

,

c

,

b

,

a

=



 

Q15.

   


a)

 

A

=







1

7



3

2

1



 

b)

 

B

=











1

1 6


1 6

1 6


2 27

1 27


4 27

8 27


4 27

11 27


 

c)

 C  não é inversível. 

 

Q16..

     


(

) (


)

2

,



1

,

1



,

,



=

z

y

x

       


 

Q17

.   


a)

 

(



) (

)

2



,

3

,

1

i,

i,

i

3

2

1



=

                                 



b)

 

(



) (

)

2



,

1

,

1

,

2

i

,

i

,

i

,

i

4

3

2

1



=

 

 



 

 

Q18.    

(

) (


)

07

,



2

  

;



45

,

1



  

;

16



,

0

  



;

61

,



1

  

;



68

,

3



,

,

,



,

5

4



3

2

1



=

i

i

i

i

i

.  O custo mínimo é $ 115,00. 



 

Q19.   

a)

 

)



6

,

2

,

3

,

4

(

 

 



  

b)

 

)



10

,

12

,

15

,

2

(

 

 



  

c) 

)

10

,

8

,

13

,

2

(

 

 



Q20.   

)

f

,

f

20

,

f

5

,

f

15

(

4

4

4

4

 

 



 

+





onde 


5

f

0

4



. 

 

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