F590A – Iniciação Científica I relatório Final Versão 1 07/06/2011 Título



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5. CONCLUSÕES


O trabalho proposto abre perspectivas para o início de um trabalho mais amplo na investigação de métodos semi-analíticos. Seu desenvolvimento, além de resultar na implementação de um método de análise estrutural que permitirá a modelagem de placas finas, também se apresenta como um meio de aprendizado da resolução de equações diferenciais parciais de quarta ordem e também do aprendizado de utilização de um software para pesquisa científica de alto nível e com capacidade de realizar operações simbólicas, o MatLab,
Obs: O orientador não exige sigilo deste trabalho.
        1. Bibliografia

[1] Banerjee, P.K. and Butterfield, R., 1981, “Boundary Element Methods in Engineering Science”, McGraw-Hill Book Company, UK.

[2] Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L., 2000, “The Finite Element Method – Volume 1: the basis”, Fifth Edition, Butterworth-Heinemann, Boston.

[3] Gunda, R., Vijayakar, S.M. and Singh, R., 1995, “Method of images for the harmonic response of beams and rectangular plates”, Journal of Sound and Vibration 185(5), pp. 791-808.

[4] Doyle, J.F., 1997, “Wave propagation in structures: spectral analysis using fast discrete Fourier transforms”, 2nd ed., Springer-Verlag.

[5]   http://fourier.lambda.ele.puc‑rio.br/10410/10410_2.PDFXXvmi=bPIcVOFDxxN6O45zQOdwLvd0JJsRbS9mJSAGIgkhP8oFdue4jrC6ZQ6JAABMtLadFKUn2fGRo5wCALHUej1eb8XLIzzckJq0ulowC5o1aVDLIlGWFIcRQaDAJdM5We6rBu0dAoeLlSx4ef2UXfMPpqpaEdfCrl44R5hstweQpNVF3ZB2enREPhOtv56Zrb3jgkNLS3CiQxZTxAWMZOrO7gjDmpDPCGaT2XFU1ieRRdMpOJcNzEDGVWkjnX90FjTH

[6] Lee, U. and Lee, J., 1999, “Spectral-element method of Levy-type plates subjected to dynamic loads”, Journal of Engineering Mechanics, February, pp. 243-247.

[7] Casimir, J.B., Kevorkian, S. and Vinh, T., 2005, “The dynamic stiffness matrix of two-dimensional elements: application to Kirchhoff’s plate continuous elements”, Journal of Sound and Vibration 287, pp. 571–589

[8] Casimir, J.B., Kevorkian, S. and Vinh, T., 2005, “The dynamic stiffness matrix of two-dimensional elements: application to Kirchhoff’s plate continuous elements”, Journal of Sound and Vibration 287, pp. 571–589

[9] Przemieniecki, J.S., 1985, “Theory of matrix structural analysis”, Dover, New York.




Anexo 1

-------------------------------------------------x-----------------------------------------------------------



Segundo Szilard [14], desde a época dos egípcios, gregos e romanos, placas já eram utilizadas em suas construções, na forma de lajes de pedra ou lápides. A diferença fundamental entre as aplicações utilizadas para lajes antigas e as usadas pelos engenheiros da era moderna é que os construtores antigos estabeleciam as dimensões e a capacidade de carga da laje por regras empíricas. Entretanto, atualmente estão disponíveis métodos científicos para a representação do comportamento mecânico e o dimensionamento de placas.

A história da evolução científica da teoria de placas é fascinante. A primeira aproximação matemática da teoria de membrana para placas delgadas foi formulada por Euler (1707-1783) em 1766. Euler resolveu problemas de vibrações livres em membranas elásticas retangulares, triangulares e circulares através da analogia com sistemas perpendiculares de molas estiradas. Seu aluno, Jacques Bernoulli (1759-1789), ampliou esta analogia, substituindo as molas por vigas e descobrindo assim o valor da sua rigidez no comportamento em flexão. Bernoulli ainda obteve semelhanças entre estas teorias e dados experimentais.

Uma solução realista para a vibração de placas foi dada pelo físico alemão E.F.F. Chladni (1756-1827). Chladni desenvolveu vários modos de vibração livres para placas. Além disso, ele foi capaz de determinar as freqüências padrões correspondentes a estas vibrações.

Em outubro de 1811 a matemática Sophie Germain (1776-1831) desenvolveu a primeira equação diferencial da teoria de placas. Poisson (1781-1840) fez a primeira determinação correta para o valor da constante k2 na equação diferencial da vibração de placas, assumindo que as partículas estão localizadas no plano médio da placa. Erroneamente, ele concluiu que esta constante é proporcional ao quadrado e não ao cubo da espessura. Mais tarde, em 1828, Poisson ampliou o estudo usando as equações de Navier, mas seu estudo só era válido para placas espessas.

Finalmente o famoso engenheiro e cientista L. Navier (1785-1836) desenvolveu a primeira equação diferencial correta para placa sujeita a carga distribuída, transversal estática px(x;y).

Matematicamente a análise de tensões de placas sujeitas a cargas normais à sua superfície requer uma solução por equações diferenciais bidimensionais de elasticidade. Para a maioria das aplicações técnicas a teoria clássica de placas delgada, criada por Kirchhof, pode ser usada sem que se necessite das equações em três dimensões. Uma das virtudes da teoria clássica para o projeto de elementos de placa é que o projetista necessita especificar somente o deslocamento transversal w(x,y) em função das rotações Ax e Áy, que são as rotações das linhas que eram normais à superfície média da configuração indeformada nos planos x, z e y,z.

As hipóteses que regem esta teoria de placas são:

  • O material é homogêneo, isotrópico e elástico-linear, isto é, segue as leis de Hooke;

  • A superfície média da placa permanece indeformada no seu plano, durante a flexão;

  • Retas normais ao plano médio da placa permanecem normais e não sofrem extensão, durante a deformação. Isto significa que as deformações tangenciais, bem como as normais na direção transversal, poderão ser desprezadas na obtenção das relações cinemáticas para as placas;

  • A espessura da placa, t, é muito pequena, quando comparada às outras dimensões da placa;

  • Os deslocamentos w(x,y) são pequenos quando comparados à espessura t;

  • As tensões normais na direção transversal são consideradas muito inferiores às outras componentes de tensão normal, de modo a serem desprezadas.

Como citado em [21], em 1930 Leonhard Euler realizou o primeiro estudo de flambagem associado a construções de colunas e placas de navios. Este estudo foi ampliado para a análise de cascas e incluído nos cursos de engenharia aeronáutica, civil, mecânica dentre outras áreas da mecânica estrutural. O livro de Timoshenko e Gere [1], em sua edição de 1961, é conhecido como umas das primeiras referências bibliográficas para o estudo da estabilidade e permanece como um dos mais completos volumes sobre este assunto.

O primeiro matemático a criar um modelo numérico em análise de estruturas foi Courant [9] com o uso do princípio da energia potencial estacionária interpolando um polinômio em regiões triangulares para o problema de torção de Saint-Venant. Ele assumiu uma distribuição linear de funções para o empenamento sobre estes elementos cuja aproximação estende-se ao modelo de Rayleigh- Ritz. Infelizmente, este importante trabalho não foi adotado pelos engenheiros, pois devido à ausência de computadores o tempo estimado para se chegar à solução do problemas levaria dias e até meses dependendo do tipo da estrutura.

Hreniko ampliou o mais conhecido método matricial para análise de deslocamentos de estruturas de barras e vigas, encontrado em Przemieniecki [2], para a análise de placas e cascas. Ao invés de trabalhar com um número infinito de deslocamentos, como nos sistemas originais, ele considerou um número finito de graus de liberdade baseado nas propriedades de barra e vigas de uma estrutura, sendo possível chegar a uma aproximação do contínuo usando barras interligadas em nós assim como nos pórticos.

Em 1953, conforme Cook [9], engenheiros escreveram as equações de rigidez na forma de uma matriz e resolveram estas equações utilizando programas de computador.

O nome Método dos Elementos Finitos foi introduzido em 1960 por Clough. Em 1963 o método foi reconhecido como ligado à solução de um problema variacional pela minimização ou estacionariedade de um funcional.

Entre 1960 e 1970 foram criados os softwares gerais ANSYS, ASKA, STRUDL e NASTRAN. A incorporação de desenvolvimento gráfico começou a ficar mais intenso no início de 1980 sendo que nos anos seguintes foram feitas as adaptações necessárias.

Com a era da globalização o método dos elementos finitos vem sendo cada vez mais utilizado através do uso de rotinas computacionais. Cook [9] menciona a existência de centenas de elementos para placas na literatura, recomendando Gallagher [4] como uma referência geral para o estudo do método dos elementos finitos aplicados a placas.

-------------------------------------------------x-----------------------------------------------------------



ANEXO 2

Código Computacional

O código que gera os deslocamentos transversais em uma placa fina retangular foi desenvolvido e é apresentado a seguir. Para efeito de simplicidade, omitiu-se as subrotinas.

% platessem.m

clear all

%warning('off','nearlySingularMatrix')

warning('off')


% Caracteristicas geometricas e fisicas da placa retangular

% Lx=2a; Ly=2b; h=espessura da placa; d=rigidez


% Ponto de excitaçao com força unitaria harmonica e de resposta

xs=0.; ys=-.25; xr=0.; yr=-.25;


% Vetores a serem utilizados na determinaçao da exitaçao equivalente no

% contorno. A força concentrada (e aplicada no

% contorno) e' substituida por outra equivalente e distribuida por todo o

% contorno. O mesmo resultado poderia ser obtido expandindo a força em

% serie apenas na aresta do contorno onde ela e' aplicada, mas a abordagem

% usada nesta implementaçao e' mais proxima da que permitira' a aplicaçao de carregamentos

% no dominio, e por isso foi mantida aqui.

% Eq. 59
%Faixa de frequencias para calculo das FRFs


fi=2*pi*0.0;

ff=2*pi*200.;

df=2*pi*4.;
% Pede o numero de termos da expansão em serie de Fourier a ser utilizado

% na montagem das matrizes.

nt=input('Numero de termos: ');
ww=[];
% Mede tempo de computaçao

tic
% Montagem das matrizes de deslocamentos (D) e forças (F) para cada

% frequencia
for omega=fi:df:ff
disp(num2str(omega/2/pi,7))
% Caracteristicas geometricas e fisicas da placa retangular

% Lx=2a; Ly=2b; h=espessura da placa; d=rigidez

a=.15;b=.15; mu=0.;nu=0.3;h=0.003; d=(69*10^9*h^3)/(12*(1 - nu^2))*(1+mu*i); rho=2700;
F=[];

Faux=[];


D=[];

Daux=[];


QSIs=[];

QSIr=[];


% Monta a matriz de deslocamentos e de forças. Existem 5 tipos de matrices basicas, para

% os casos: {m=0,n=0},(m=0,n#0},{m#0,n=0},{m#n},{m=n}.

% Eq. 37 a 40 e Eq. 41 a 44.
for m=0:nt-1

for n=0:nt-1

if m==0

if n==0


Daux=[Daux calcMdmn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfmn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n~=m

Daux=[Daux calcMdm0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfm0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

end


else

if n==0


Daux=[Daux calcMdn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n~=m

Daux=[Daux calcMd(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMf(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n==m

Daux=[Daux calcMdmen(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfmen(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

end

end


end

D=[D


Daux];

Daux=[];


F=[F

Faux];


Faux=[];

end
% Determinaçao dos valores da base de funçoes nos pontos de excitaçao e resposta

% QSI definido em eq. 19 e 20.
% Montagem do vetor T usado no calculo da da força equivalente
for n=0:nt-1

if n==0
x=xs;y=ys;

QSIs=[QSIs

calcqsi0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega,x,y)];

x=xr;y=yr;

QSIr=[QSIr

calcqsi0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega,x,y)];
else
x=xs;y=ys;

QSIs=[QSIs

calcqsi(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega,x,y)];

x=xr;y=yr;

QSIr=[QSIr

calcqsi(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega,x,y)];


end

end

% Determinaçao da matriz de rigidez dinamica da placa

% Eq. 36, 41, 45, 51, 52

IDp=inv(D);

KKp=F*IDp;


% Monta a matriz de deslocamentos e de forças para a viga


% Caracteristicas geometricas e fisicas da placa retangular

% Lx=2a; Ly=2b; h=espessura da placa; d=rigidez


a=.15;b=.003; mu=0.;nu=0.3;h=0.006; d=(69*10^9*h^3)/(12*(1 - nu^2))*(1+mu*i); rho=2700;
F=[];

Faux=[];


D=[];

Daux=[];


% Monta a matriz de deslocamentos e de forças. Existem 5 tipos de matrices basicas, para

% os casos: {m=0,n=0},(m=0,n#0},{m#0,n=0},{m#n},{m=n}.

% Eq. 37 a 40 e Eq. 41 a 44.
for m=0:nt-1

for n=0:nt-1

if m==0

if n==0


Daux=[Daux calcMdmn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfmn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n~=m

Daux=[Daux calcMdm0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfm0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

end


else

if n==0


Daux=[Daux calcMdn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfn0(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n~=m

Daux=[Daux calcMd(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMf(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

elseif n==m

Daux=[Daux calcMdmen(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

Faux=[Faux calcMfmen(m,n,a,b,d,h,mu,nu,rho,omega)];

end

end


end

D=[D


Daux];

Daux=[];


F=[F

Faux];


Faux=[];

end


% Determinaçao da matriz de rigidez dinamica da placa

% Eq. 36, 41, 45, 51, 52

ID=inv(D);

KKv=F*ID;


% Esquema de um elemento:


% face 4

% +++++++++++++++++

% + + ^ y

% + + |


%face 1 + + face 2 ----> x

% + +


% + +

% +++++++++++++++++

% face 3

p1=4; % face de junçao da placa 1

p2=3; % face de junçao da placa 2
% Vetores com linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade

% comuns as placas 1 e 2

v11=[2*p1-1 2*p1];

v12=[2*p2-1 2*p2];


for n=1:nt-1

v11=[v11 8+16*(n-1)+4*(p1-1)+1:8+16*(n-1)+4*p1];

v12=[v12 8+16*(n-1)+4*(p2-1)+1:8+16*(n-1)+4*p2];n=n+1;

end
% Vetor com linhas e colunas restantes na placa 2 apos a retirada dos graus

% de liberdade comuns as duas placas

v22=[1:2*(p2-1) 2*p2+1:8];


for n=1:nt-1

v22=[v22 8+16*(n-1)+1:8+16*(n-1)+4*(p2-1) 8+16*(n-1)+4*p2+1:8+16*n];

n=n+1;

end
% Montagem da matriz global Kg



KK11=KKp; KK11(v11,v11)=KKp(v11,v11)+KKv(v12,v12);

KK22=KKv(v22,v22);

KK21=zeros(length(KK22), length(KKp)); KK21(:,v11)=KKv(v22,v12);

KK12=zeros(length(KKp),length(KK22) ); KK12(v11,:)=KKv(v12,v22);


Kg=[KK11 KK12

KK21 KK22];

% Vetor de coeficientes de fourier para os esforços no contorno, levando em

% conta a contribuiçao do carregamento equivalente.

% Eq. 60, QSis.=cp
mf=0;
if mf==1

% Determinaçao da força equivalente distribuida em todo o contorno do elemento usando trabalho virtual

f1=T*ID.'*QSIs;

else % Determinaçao da força equivalente expandindo em serie de fourier em uma face

% Esta implementaçao e' especifica para força no ponto (xs,-b)

f1=zeros(length(KKp),1);

f1(5)=1/(2*a);
for n=1:nt-1

f1(8+16*(n-1)+9)=cos(n/a*pi*xs)/a;

f1(8+16*(n-1)+10)=sin((2*n-1)/(2*a)*pi*xs)/a;

end


end
% Montagem do vetor de forças global

f=[f1


zeros(length(v22),1)];
% Determinaçao dos coeficientes de fourier para os deslocamentos globais do contorno
des=inv(Kg)*f;
% Separaçao dos coeficientes de fourier para os deslocamentos da placa 1

desl=des(1:length(KKp),1);


% Determinaçao dos deslocamentos.

% Eq. 54
ww=[ww

20*log10(abs((QSIr.'*IDp*desl)))];
end

toc
% Gera grafico da FRF



plot((fi:df:ff)/(2*pi),ww,'-k')

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