Considere uma placa de Kirchhoff sujeita a um carregamento transversal dinâmico. A equação que governa a vibração forçada deste tipo de placa pode ser expressa como
2222\* MERGEFORMAT ()
onde
2323\* MERGEFORMAT ()
Considerando apenas o caso em que atua na placa apenas um carregamento dinâmico harmônico, pode ser assumido que a força tem a forma P(x,y;t)=P(x,y) e i t. Da mesma forma, o deslocamento transversal será expresso como w(x,y,t)=w(x,y) e i t. Substituindo estas expressões na eq. 22, ela se torna
2424\* MERGEFORMAT ()
onde
2525\* MERGEFORMAT ()
A fim de resolver a eq. 24, em sua forma homogênia
2626\* MERGEFORMAT ()
será assumida uma solução da
2727\* MERGEFORMAT ()
para uma placa retangular com dimensões Lx = 2a e Ly=2b.
Substituindo a eq. 27 na eq.26, será obtida a equação característica da equação diferencial bi-harmônica homogênea como
2828\* MERGEFORMAT ()
Existem infinitos valores de p e q que satisfazem a Eq. 28. Vamos assumir que a solução na direção x pode ser expandida como uma série de Fourier exponencial. Um termo geral desta série para um dado m , será expresso como
2929\* MERGEFORMAT ()
e, portanto
with 3030\* MERGEFORMAT ()
Introduzindo a expressão para pm na eq. 28, qm será definido como
3131\* MERGEFORMAT ()
o qual pode ser reescrito como
3232\* MERGEFORMAT ()
e, portanto, um dado m irá gerar uma base de oito funções soluções da eq. 26, as quais agrupadas podem ser expressas como
3333\* MERGEFORMAT ()
onde
, , , 3434\* MERGEFORMAT ()
Usando a mesma abordagem para a solução na direção y, q pode ser expresso como
with 3535\* MERGEFORMAT ()
Introduzindo a expressão para qm na eq. 28, pm fica definido como
3636\* MERGEFORMAT ()
o qual pode ser reescrito como
3737\* MERGEFORMAT ()
e, portanto, um dado n irá gerar outra base de oito funções, soluções da eq. 26, as quais agrupadas podem ser expressas como
3838\* MERGEFORMAT ()
A solução para a equação diferencial homogênea 26 será portanto
3939\* MERGEFORMAT ()
cuja forma explícita para uma dado n é
4040\* MERGEFORMAT ()
e a expressão geral para o deslocamento, em forma matricial é
4141\* MERGEFORMAT ()
A fim de desenvolver uma matrix espectral elementar para placas finas, a forma trigonométrica da eq. 40, separada em seus quatro casos de simetria, será usado.
4242\* MERGEFORMAT ()
e
4343\* MERGEFORMAT ()
4444\* MERGEFORMAT ()
4545\* MERGEFORMAT ()
4646\* MERGEFORMAT ()
onde, para as funções seno
, n= 1, 2, 3, … 4747\* MERGEFORMAT ()
e para as funções cosseno
, n = 1, 2, 3, … 4848\* MERGEFORMAT ()
Para n = 0, a eq. 42 torna-se
4949\* MERGEFORMAT ()
A matriz de rigidez dinâmica expectral pode ser obtida escrevendo-se as forças cortantes e os momentos como uma função dos deslocamentos e das rotações nos contornos ao longo das direções x e y. Estes termos são definidos pelas relações
5050\* MERGEFORMAT ()
5151\* MERGEFORMAT ()
5252\* MERGEFORMAT ()
5353\* MERGEFORMAT ()
5454\* MERGEFORMAT ()
5555\* MERGEFORMAT ()
Determinando-se o valor da eq. 42, 50 e 51 nos contornos e agrupando os resultados, um vetor de deslocamentos nos contornos é obtido:
5656\* MERGEFORMAT ()
onde
5757\* MERGEFORMAT ()
5858\* MERGEFORMAT ()
5959\* MERGEFORMAT ()
6060\* MERGEFORMAT ()
Procedendo da mesma forma em relação às forces nos contornos, obteremos
6161\* MERGEFORMAT ()
onde
6262\* MERGEFORMAT ()
6363\* MERGEFORMAT ()
6464\* MERGEFORMAT ()
A fim de eliminar a dependência em x e y de e, eles serão expandidos em uma série de Fourier trigonométrica e os coeficientes dos termos em seno e cosseno serão colocados em duas linhas diferentes. Truncando esta série em um número adequado de termos m, as matrices de termos constantes resultantes serão quadradas. Desta forma, teremos
6565\* MERGEFORMAT ()
6666\* MERGEFORMAT ()
onde
6767\* MERGEFORMAT ()
com T0 uma matrix identidade 8x8
6868\* MERGEFORMAT ()
onde
6969\* MERGEFORMAT ()
7070\* MERGEFORMAT ()
Eliminando c da q. 65 e 66, resulta em
7171\* MERGEFORMAT ()
onde
7272\* MERGEFORMAT ()
Para placas com condições de contorno livre-livre ou engastado-engastado, as freqüências naturais e modos de vibração podem ser obtidos igualando respectivamente os vetores f e d a zero na eq. 71 e resolvendo o autoproblema resultante.
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