F590A – Iniciação Científica I relatório Final Versão 1 07/06/2011 Título



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3.2. Desenvolvimento da Formulação do Método dos Elementos Espectrais


Considere uma placa de Kirchhoff sujeita a um carregamento transversal dinâmico. A equação que governa a vibração forçada deste tipo de placa pode ser expressa como

2222\* MERGEFORMAT ()

onde

2323\* MERGEFORMAT ()

Considerando apenas o caso em que atua na placa apenas um carregamento dinâmico harmônico, pode ser assumido que a força tem a forma P(x,y;t)=P(x,y) e i t. Da mesma forma, o deslocamento transversal será expresso como w(x,y,t)=w(x,y) e i t. Substituindo estas expressões na eq. 22, ela se torna

2424\* MERGEFORMAT ()

onde


2525\* MERGEFORMAT ()

A fim de resolver a eq. 24, em sua forma homogênia

2626\* MERGEFORMAT ()

será assumida uma solução da

2727\* MERGEFORMAT ()

para uma placa retangular com dimensões Lx = 2a e Ly=2b.

Substituindo a eq. 27 na eq.26, será obtida a equação característica da equação diferencial bi-harmônica homogênea como

2828\* MERGEFORMAT ()

Existem infinitos valores de p e q que satisfazem a Eq. 28. Vamos assumir que a solução na direção x pode ser expandida como uma série de Fourier exponencial. Um termo geral desta série para um dado m , será expresso como

2929\* MERGEFORMAT ()

e, portanto



with 3030\* MERGEFORMAT ()

Introduzindo a expressão para pm na eq. 28, qm será definido como



3131\* MERGEFORMAT ()

o qual pode ser reescrito como



3232\* MERGEFORMAT ()

e, portanto, um dado m irá gerar uma base de oito funções soluções da eq. 26, as quais agrupadas podem ser expressas como



3333\* MERGEFORMAT ()

onde


, , , 3434\* MERGEFORMAT ()

Usando a mesma abordagem para a solução na direção y, q pode ser expresso como



with 3535\* MERGEFORMAT ()

Introduzindo a expressão para qm na eq. 28, pm fica definido como

3636\* MERGEFORMAT ()

o qual pode ser reescrito como

3737\* MERGEFORMAT ()

e, portanto, um dado n irá gerar outra base de oito funções, soluções da eq. 26, as quais agrupadas podem ser expressas como



3838\* MERGEFORMAT ()

A solução para a equação diferencial homogênea 26 será portanto



3939\* MERGEFORMAT ()

cuja forma explícita para uma dado n é



4040\* MERGEFORMAT ()

e a expressão geral para o deslocamento, em forma matricial é

4141\* MERGEFORMAT ()

A fim de desenvolver uma matrix espectral elementar para placas finas, a forma trigonométrica da eq. 40, separada em seus quatro casos de simetria, será usado.



4242\* MERGEFORMAT ()

e

4343\* MERGEFORMAT ()

4444\* MERGEFORMAT ()

4545\* MERGEFORMAT ()

4646\* MERGEFORMAT ()

onde, para as funções seno



, n= 1, 2, 3, … 4747\* MERGEFORMAT ()

e para as funções cosseno



, n = 1, 2, 3, … 4848\* MERGEFORMAT ()

Para n = 0, a eq. 42 torna-se



4949\* MERGEFORMAT ()

A matriz de rigidez dinâmica expectral pode ser obtida escrevendo-se as forças cortantes e os momentos como uma função dos deslocamentos e das rotações nos contornos ao longo das direções x e y. Estes termos são definidos pelas relações

5050\* MERGEFORMAT ()

5151\* MERGEFORMAT ()



5252\* MERGEFORMAT ()

5353\* MERGEFORMAT ()

5454\* MERGEFORMAT ()

5555\* MERGEFORMAT ()

Determinando-se o valor da eq. 42, 50 e 51 nos contornos e agrupando os resultados, um vetor de deslocamentos nos contornos é obtido:

5656\* MERGEFORMAT ()

onde


5757\* MERGEFORMAT ()

5858\* MERGEFORMAT ()

5959\* MERGEFORMAT ()

6060\* MERGEFORMAT ()

Procedendo da mesma forma em relação às forces nos contornos, obteremos

6161\* MERGEFORMAT ()

onde

6262\* MERGEFORMAT ()

6363\* MERGEFORMAT ()



6464\* MERGEFORMAT ()

A fim de eliminar a dependência em x e y de e, eles serão expandidos em uma série de Fourier trigonométrica e os coeficientes dos termos em seno e cosseno serão colocados em duas linhas diferentes. Truncando esta série em um número adequado de termos m, as matrices de termos constantes resultantes serão quadradas. Desta forma, teremos

6565\* MERGEFORMAT ()

6666\* MERGEFORMAT ()

onde

6767\* MERGEFORMAT ()

com T0 uma matrix identidade 8x8



6868\* MERGEFORMAT ()

onde


6969\* MERGEFORMAT ()

7070\* MERGEFORMAT ()

Eliminando c da q. 65 e 66, resulta em

7171\* MERGEFORMAT ()

onde


7272\* MERGEFORMAT ()

Para placas com condições de contorno livre-livre ou engastado-engastado, as freqüências naturais e modos de vibração podem ser obtidos igualando respectivamente os vetores f e d a zero na eq. 71 e resolvendo o autoproblema resultante.


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