F590A – Iniciação Científica I relatório Final Versão 1 07/06/2011 Título



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RESUMO


A análise de estruturas é de fundamental importância nas engenharias. Especificamente estruturas bidimensionais, denominadas placas, são elementos constituintes de uma grande gama de equipamentos e estruturas indispensáveis na vida moderna, como automóveis, aviões, pontes, etc.

O objetivo deste projeto é a implementação do método de modelagem computacional denominado Método dos Elementos Espectrais para utilizá-lo na modelagem do comportamento dinâmico de uma estrutura de placa fina isotrópica, buscando-se desta forma uma alternativa aos métodos numéricos frequentemente utilizados e cujos resultados não são satisfatórios em algumas situações específicas.

A implementação do método deverá permitir a obtenção dos deslocamentos transversais da placa e consequentemente as freqüências de vibração para os quais estes deslocamentos tendem a infinito, as quais são denominadas freqüências naturais. Para estas freqüências será também obtido o campo de deslocamentos normalizados da placa, denominado modo de vibração. Estes modos serão plotados através de um software gráfico e animados de modo a tornar visível os modos de vibração da placa para cada freqüência natural correspondente, permitindo visualizar o fenômeno vibratório.

        1. 1. INTRODUÇÃO


No ensino, em todas as áreas, muitas vezes o conhecimento teórico é apresentado ao aluno como algo que existe por si só, sem aplicabilidade ao mundo real. O contexto histórico e as circunstâncias em que o conhecimento foi produzido não é revelado ao aluno, privando-o de parte essencial do aprendizado: a sensação inigualável de auto-realização que advém da produção de conhecimento ou da revelação dos segredos da natureza, a qual ultrapassa em muito o que se pode conseguir pela simples assimilação do conhecimento já existente.

Atualmente, é comum o uso de técnicas numéricas para a resolução de uma ampla gama de problemas da física, o que é favorecido pelo fácil acesso a recursos computacionais a um baixo custo. Se por um lado essa abordagem simplifica grandemente a dificuldade em se acessar os mais variados problemas, ela também não deixa evidente os processos físicos envolvidos na solução adotada.

Dentre os métodos numéricos mais utilizados destacam-se o Método das Diferenças Finitas, Método dos Elementos Finitos [1], Método dos Elementos de Contorno [2], entre outros. No entanto, para muitos problemas também existem soluções analíticas que historicamente permaneceram em desuso pela dificuldade de sua utilização. O advento dos computadores, ao mesmo tempo em que possibilitou a utilização de soluções numéricas, permite hoje, com sua capacidade de realizar processamento simbólico, resgatar estas soluções, as quais possuem indicativos de que, em certas situações, são vantajosas em relação às soluções numéricas já consagradas.

Na literatura encontram-se tentativas de utilização de soluções analíticas na área da mecânica estrutural através dos trabalhos de diversos autores [3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9] que utilizaram a solução analítica em série de Fourier para as equações diferenciais de quarta ordem de viga e placa, comprovando que este tipo de solução, também conhecida como semi-analítica, não só é viável, como apresenta melhores resultados que os métodos numéricos tradicionais, especialmente quando se deseja analisar o comportamento destas estruturas em altas freqüências. Esta abordagem é denominada em muitos trabalhos como Método dos Elementos Espectrais e encontra-se ainda em sua fase inicial de desenvolvimento, havendo muitos aspectos de sua formulação em aberto para serem investigados.

Desta forma, justifica-se o estudo do tema proposto pelo potencial que ele apresenta em abrir um campo inteiramente novo de pesquisa, o qual pode prover uma ferramenta alternativa e vantajosa aos métodos usuais de análise estrutural. Este processo contribuirá também para aumentar a compreensão do aluno em relação à obtenção de soluções para equações diferenciais parciais de alta ordem, sua relação com o fenômeno físico que ela representa e a utilização das soluções analíticas na obtenção de informações úteis sobre o fenômeno modelado.

        1. 2. HISTÓRICO DO DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DE PLACAS


O início do desenvolvimento da teoria de placas remonta ao século XVIII e foi aperfeiçoada ao longo de cerca de duzentos anos, até que os trabalhos de Timoshenko e Midlin, no início dos anos 60, deram a ela seu formato atual.

Um excelente relato deste desenvolvimento é apresentado no trabalho reproduzido no Anexo 1, o qual pode ser obtido em [5]:


        1. 3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO


A partir da revisão da teoria clássica de placas finas foi possível obter-se a equação diferencial de quarta ordem que descreve o deslocamento transversal de placas finas. Este desenvolvimento é apresentado no item 3.1.

De posse desta formulação, obteve-se a solução em série de Fourier para a equação de placa fina e esta solução foi posta na forma de matrizes de esforços e de deslocamentos, as quais após alguma manipulação algébrica permitem obter a matriz de rigidez dinâmica espectral da estrutura, característica do Método dos Elementos Espectrais. Com a formulação para a matriz de rigidez dinâmica do problema, foi possível obter-se as freqüências e os modos naturais de vibração de uma placa fina.

O código computacional desenvolvido para a implementação do método é apresentado no Anexo 2.

        1. 3.1. Formulação Teórica de Estruturas do Tipo Placas Finas


O desenvolvimento da formulação de placas pode ser compreendido mais facilmente através de uma abordagem inicial em uma dimensão, estendida posteriormente para o caso bidimensional, como feito por Zienkiewicz & Taylor [2]. Seja então uma viga longa e de largura unitária, sujeita às resultantes de tensão Mx, Px e Sx (Figura 1). Para esta viga serão adotadas as hipóteses:

- seções planas normais aos planos médios permanecem planas durante a deformação;



- tensões na direção z são pequenas, da mesma ordem de grandeza da carga transversal aplicada (q) e, portanto, as deformações nesta direção podem ser desprezadas.
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