A tabela ao lado mostra o preço em reais das passagens para viagens entre duas das cidades A, B, C, d e E. Note que o preço de ida e o preço de volta entre duas mesmas cidades podem ser diferentes



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A

B

C

D

E

A




3

1

2

5

B

2




2

1

4

C

1

3




2

1

D

2

5

4




3

E

5

2

1

4



55) A tabela ao lado mostra o preço em reais das passagens para viagens entre duas das cidades A, B, C, D e E. Note que o preço de ida e o preço de volta entre duas mesmas cidades podem ser diferentes. Pablo quer sair de uma dessas cidades e visitar todas as demais gastando o mínimo possível. Quanto Pablo irá gastar?

A) 4 reais

B) 5 reais

C) 6 reais

D) 9 reais

E) 11 reais

Solução: B

Como são 5 cidades, Pablo terá de fazer 4 viagens para passar por A, B, C, D e E. Usando apenas viagens de custo 1, não conseguiremos atingir todas as cidades, pois de A pode-se chegar em C, que por sua vez leva a E, mas B e D ficariam isoladas. Em outras palavras, não existe conexão ao valor 1 do grupo {A,C,E} para o grupo {B,D} ou vice-versa, o que impossibilita uma viagem de custo total 4. Assim, o custo mínimo será 5, que pode ser obtido através das viagens ACEBD.



36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Primeira Fase – Nível 1

6º ou 7º ano

3 de junho de 2014

56) Joana foi comprar 20 canetas e comparou os preços em duas lojas: na loja A, cada caneta custa 3 reais, mas há uma promoção de 5 canetas pelo preço de 4, e na loja B, cada caneta custa 4 reais, mas a cada 5 canetas compradas, como brinde ela pode levar até mais duas de graça. Tentando fazer a melhor escolha entre comprar somente na loja A ou somente na loja B, quanto ela pode economizar?

A) nada

B) R$ 6,00

C) R$ 8,00

D) R$ 10,00

E) R$ 12,00

Solução: E

Se Joana comprar as 20 canetas na Loja A, ela pagará o preço de 16 canetas (já que 20 = 4.5 e a cada cinco canetas ela paga o preço de apenas quatro). Assim, na Loja A ela gastaria 16.3 = 48 reais, já que cada caneta custa 3 reais.

Se Joana comprar as 20 canetas na Loja B, como ela compra 5 e ganha 2, ou seja, a cada 7 ela paga o preço de apenas 5. Assim, Joana precisa de 7 + 7 + 6 canetas, que saem pelo preço de apenas 3.5 = 15 canetas. Como cada unidade custa 4 reais, ela gastaria 15.4 = 60 reais na Loja B.

Assim, entre a opção mais barata e a mais cara, Joana pode economizar 60 – 48 = 12 reais.



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Primeira Fase – Nível 1

6º ou 7º ano

3 de junho de 2014

57) O retângulo da figura foi repartido em várias regiões por meio de três segmentos concorrentes, sendo um deles uma de suas diagonais e os outros dois paralelos aos lados do mesmo. Os números indicam as áreas em m2 das regiões brancas em que se encontram. Qual é a área do retângulo original?

A) 40 m2

B) 65 m2

C) 75 m2

D) 80 m2





E) 100 m2

Solução: E


Chamaremos de A, B e C as áreas sombreadas. Além disso, numeramos os vértices da figura com as letras de L a R para facilitar a explicação. Como o triângulo de área A tem a mesma base (NL = MO) e mesma altura (NM = LO) do triângulo de área 8, temos A = 8. De forma semelhante, temos que B = 18. Com isso, concluímos que AMNLO = 16 e ALQRS = 36. Além disso, temos a seguinte igualdade:

AMNLO . ALQRS = ANPQL . AOLST (*) 16.36 = 24.C C = 24

Portanto, a área da figura será 24+18+8+A+B+C = 100 m².


(*): a igualdade é verdadeira porque o lado esquerdo pode ser escrito MN.MO.LS.QL e o lado direito como PQ.PN.LO.OT, sendo MN = LO, MO = PQ, LS = OT e QL = PN.



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6º ou 7º ano

3 de junho de 2014

58) Manuel, Antônio e Joaquim começam a pintar, no mesmo instante, três muros iguais de 60 metros de comprimento, um muro para cada um. Nos 10 primeiros minutos de trabalho, Manuel pinta 2 metros, Antônio 3 metros e Joaquim, 5 metros. Quem termina a sua parte, imediatamente passa a ajudar os outros, até que os três juntos terminem todo o trabalho, cada um mantendo o seu ritmo até o final. Quanto tempo levou para o trabalho ser feito?

A) 3 horas

B) 4 horas

C) 5 horas

D) 6 horas

E) 7 horas

Solução: A

Como o ritmo de trabalho dos pintores Manuel, Antônio e Joaquim é totalmente independente, podemos encarar os 3 pintores como um único (vamos chamá-lo de Mantôquim) que junta a necessidade e o ritmo dos 3. Assim, Mantôquim tem 60+60+60 = 180 metros de muro a uma velocidade de 2+3+5=10 metros de muro pintados a cada 10 minutos, ou seja, 1 metro a cada minuto. Dessa forma, Mantôquim levará 180/1 = 180 minutos (ou 3 horas) para completar seu serviço.



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6º ou 7º ano

3 de junho de 2014

59) O número 2014 tem quatro algarismos distintos cuja soma é 7. Quantos números inteiros positivos têm essas duas propriedades?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 23

Solução: C

Vamos analisar quais quádruplas de algarismos são válidas e, para isso, vamos chamar de d o maior número dessa quádrupla. Se d > 4, teremos pelo menos um dígito repetido na formação do número, pois 5+2+1+0 (que seria nossa menor soma possível com d > 4) ultrapassa nossa soma de 7. Se d < 4, nossa maior soma possível é 6(3+2+1+0), o que também invalida nossa quádrupla. Portanto, d = 4. Além disso, teremos que somar 7–4 = 3 para os demais números distintos da quádrupla. A única maneira de fazer isso com 3 algarismos é usando 2, 1 e 0.

Assim, nossa resposta será a quantidade de números de 4 algarismos distintos formados por 4, 2, 1 e 0. Contando a quantidade dígito a dígito, temos 3 opções para o primeiro dígito (lembre-se que o número não pode começar com 0 à esquerda!), 3 opções para o segundo dígito (qualquer dígito tirando o já escolhido), 2 opções para o terceiro dígito(um dos 2 dígitos restantes) e 1 opção para o último dígito (o dígito que sobrou). Pelo princípio multiplicativo, temos 3*3*2*1 = 18 possíveis números.

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Primeira Fase – Nível 1

6º ou 7º ano

3 de junho de 2014

60) Rosa resolveu distribuir 250 reais para seus sobrinhos, dando a mesma quantia inteira (sem centavos) para cada um e percebeu que sobrariam 10 reais. Então ela pensou em diminuir em 1 real a quantia de cada um e descobriu que sobrariam 22 reais. Por fim, ela resolveu distribuir apenas 240 reais. Quanto ganhou cada sobrinho?

A) 5 reais

B) 10 reais

C) 12 reais

D) 15 reais

E) 20 reais

Solução: E

Sendo S a quantidade de sobrinhos de Rosa e Q a quantia que cada um recebeu quando Rosa distribuiu apenas 240 reais, da primeira afirmação temos que Q.S+10 = 250  QS = 240 (I). Da segunda afirmação, segue que (Q–1)S + 22 = 250  QS – S = 228 (II). Fazendo (I) – (II) temos que QS – (QS – S) = 12  S = 12. Assim, Rosa tem 12 sobrinhos e cada um recebeu 240/12 = 20 reais.



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Primeira Fase – Nível 1

6º ou 7º ano

3 de junho de 2014


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